/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 4

Zadanie nr 6065545

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dobierz wartości a,b i c tak, aby liczby 1 − 2 ,0 ,3 były pierwiastkami wielomianu W (x) = ax4 − 3x3 − 8x2 − bx + 3c − 1 .

Rozwiązanie

Najłatwiej jest z 0 jako pierwiastkiem. Mamy mieć

1 0 = W (0) = 3c − 1 ⇒ c = -. 3

Podstawiając tę wartość zostaje nam wielomian

4 3 2 3 2 W (x) = ax − 3x − 8x − bx = x(ax − 3x − 8x− b).

Na tego x -a przed nawiasem możemy nie zwracać uwagi, bo na pewno się nie zeruje ani dla 1 x = − 2 , ani dla x = 3 . Zatem zerować się musi wyrażenie w nawiasie, co prowadzi do układu równań

{ − 18 a− 34 + 4− b = 0 / ⋅8 { 27a − 2 7− 24− b = 0 −a − 6 + 32 − 8b = 0 27a − 5 1 = b.

Wstawiamy teraz b z drugiego równania do pierwszego

− a+ 26 − 8(27a − 51 ) = 0 − a+ 26 − 216a + 40 8 = 0 434 = 217a ⇒ a = 2.

Zatem b = 27a − 5 1 = 3 .  
Odpowiedź: 1 a = 2,b = 3,c = 3

Wersja PDF