Zadanie nr 6630198

Wyznacz wartości parametrów i dla których jedynymi rozwiązaniami równania

x4 + (a − b)x3 − (ab + 1)x2 − (a − b)x + ab = 0

są liczby x = −1 i x = 1 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy kiedy liczby x = − 1 i x = 1 są pierwiastkami danego równania W (x) = 0 .

W (1) = 1+ (a − b) − (ab + 1) − (a − b) + ab = 0 W (− 1) = 1 − (a − b) − (ab + 1) + (a − b)+ ab = 0.

Widzimy więc, że liczby te są zawsze rozwiązaniami tego równania (niezależnie od wartości i ). Zatem lewa strona równania musi dzielić się przez

2 (x − 1)(x + 1) = x − 1 .

Dzielenie możemy wykonać schematem Hornera, pisemnie lub grupując wyrazy. My jak zwykle wybieramy ostatnią możliwość.

x 4 + (a − b)x 3 − (ab + 1 )x2 − (a− b )x+ ab = 4 2 3 2 = (x − x )+ ((a− b )x − (a− b )x)− ab(x − 1) = = x2(x2 − 1)+ (a− b)x(x2 − 1) − ab(x2 − 1) = = (x2 − 1)(x2 + (a− b)x− ab).

Rozkładamy wielomian kwadratowy w drugim nawiasie.

2 2 Δ = (a − b) + 4ab = (a + b) −a-+--b−--(a+--b) −a-+--b+--(a+-b-) x = 2 = −a ∨ x = 2 = b.

Zatem

2 2 2 (x − 1)(x + (a− b)x − ab) = (x − 1)(x + a )(x − b).

Jeżeli jedynymi pierwiastkami tego wielomianu mają być liczby -1 i 1, to musimy mieć a = ± 1 oraz b = ± 1 , co daje nam 4 pary rozwiązań

(a,b) ∈ {(− 1,− 1),(− 1,1),(1,− 1 ),(1 ,1)}

Odpowiedź: (a,b) ∈ {(− 1,− 1),(− 1,1),(1,− 1),(1 ,1 )}