/Szkoła średnia/Nierówności/Kwadratowe/Z parametrem

Zadanie nr 3639895

Dla jakich wartości parametru m funkcja

{ f(x ) = (m − 1)x + m dla x < 1 x2 + (m − 2)x + 4 − 2m dla x ≥ 1

przyjmuje tylko dodatnie wartości?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zajmijmy się na początku pierwszą częścią wzoru. Ponieważ jest to funkcja liniowa to musi ona mieć współczynnik kierunkowy niedodatni (inaczej przyjmowałaby ujemne wartości) oraz musi mieć nieujemną wartość dla x = 1 . Pierwszy warunek oznacza, że m ≤ 1 a drugi, że

1 m − 1+ m ≥ 0 ⇒ m ≥ -. 2

Oba warunki dają więc nam

⟨ ⟩ 1- m ∈ 2 ,1 .

Zajmijmy się teraz drugą częścią wzoru. Jest to kawałek paraboli o ramionach skierowanych w górę. Aby jakoś zapisać kiedy ten kawałek jest powyżej osi Ox fajnie byłoby wiedzieć, gdzie jest jej wierzchołek – to jednak wiemy na mocy otrzymanej już nierówności

b m − 2 1 − 2 3 xw = − ---= − ------≤ − 2-----= -. 2a 2 2 4

Zatem na przedziale ⟨1,+ ∞ ) parabola ta jest rosnąca i aby była ona ponad osią wystarczy aby wartość w 1 była dodatnia. Liczymy

0 < 1+ (m − 2) + 4 − 2m = −m + 3 ⇒ m < 3.

 
Odpowiedź: m ∈ ⟨12,1⟩

Wersja PDF