Zadanie nr 7379946

Dla jakich wartości parametru zbiór rozwiązań nierówności 2 x − 3x + 2 < 0 jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności ax2 − (3a+ 1)x + 3 > 0 ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rozwiązania pierwszej nierówności.

2 x − 3x + 2 < 0 Δ = 9− 8 = 1 x = 1, x = 2 1 2 x ∈ (1,2).

Musimy więc ustalić kiedy parabola ax2 − (3a + 1)x + 3 jest powyżej osi na przedziale (1 ,2) .

Jeżeli a = 0 to mamy nierówność − x+ 3 > 0 , której zbiór rozwiązań zawiera przedział (1,2) .

Jeżeli a < 0 , to ramiona paraboli ax2 − (3a + 1)x + 3 są skierowane w dół i wystarczy aby jej wartości były nieujemne w końcach przedziału (1,2) .

0 ≤ a − (3a + 1)+ 3 = 2 − 2a ⇒ a ≤ 1 0 ≤ 4a − 2(3a + 1) + 3 = 1 − 2a ⇒ a ≤ 1-. 2

Mamy więc w tym przypadku a < 0 .

Jeżeli a > 0 , to ramiona paraboli ax2 − (3a + 1)x + 3 są skierowane do góry. Kiedy będzie ona powyżej osi na przedziale (1,2) ? – jest kilka możliwości. Sprawdźmy kiedy cała parabola jest powyżej osi ( Δ < 0 ).

0 > Δ = (3a + 1 )2 − 12a = (3a − 1)2.

Nierówność ta jest oczywiście sprzeczna.

Ponieważ parabola zawsze przecina oś , jej wierzchołek musi być poza przedziałem (1 ,2) , a wartości w końcach przedziału muszą być nieujemne. Wartości na końcach przedziału już sprawdzaliśmy – są nieujemne dla 1 a ≤ 2 , pozostaje więc sprawdzić warunek z wierzchołkiem.