/Szkoła średnia/Nierówności/Kwadratowe/Z parametrem

Zadanie nr 9723778

Wyznacz wszystkie wartości m , dla których nierówność (m 2 − 1)x2 + 2(m − 1)x + 2 > 0 jest prawdziwa dla każdego x ∈ R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw co się dzieje gdy nierówność jest liniowa, czyli dla m = − 1 i m = 1 . Dla m = − 1 mamy nierówność − 4x + 2 > 0 , a dla m = 1 nierówność 2 > 0 . Tylko druga z nich jest zawsze spełniona.

Jeżeli nierówność jest kwadartowa to jej wykres musi mieć ramiona skierowane do góry, czyli

m ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (1,+ ∞ ),

oraz musi być Δ < 0 , czyli

2 2 0 > Δ = 4(m − 1) − 8(m − 1) = 4(m − 1)(m − 1 − 2m − 2) = = 4(m − 1)(−m − 3) 0 < (m − 1)(m + 3) m ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (1,+ ∞ ).

Łącząc otrzymane warunki otrzymujemy

m ∈ (− ∞ ,− 3)∪ ⟨1,+ ∞ )

 
Odpowiedź: m ∈ (− ∞ ,− 3)∪ ⟨1,+ ∞ )

Wersja PDF