/Szkoła średnia/Nierówności/Kwadratowe/Z parametrem

Zadanie nr 9888218

Wyznacz te wartości parametru p , dla których nierówność (p − 2)x 2 + (p − 2)x+ p − 1 < 0 nie ma rozwiązań.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw co się dzieje gdy nierówność jest liniowa, czyli dla p = 2 . Mamy wtedy nierówność 1 < 0 , która nie ma rozwiązań.

Jeżeli nierówność jest kwadratowa, to nierówność nie ma rozwiązań o ile parabola będąca jej wykresem ma ramiona skierowane do góry (czyli p > 2 ) oraz Δ ≤ 0 .

0 ≥ Δ = (p − 2)2 − 4 (p− 1)(p − 2) = (p − 2 )(p − 2− 4p+ 4) = ( ) 2- = (p− 2)(− 3p + 2) = − 3(p − 2 ) p− 3 ( ) 0 ≤ (p− 2) p − 2- 3 ( 2⟩ p ∈ − ∞ , -- ∪ ⟨2,+ ∞ ). 3

 
Odpowiedź: p ∈ ⟨2,+ ∞ )

Wersja PDF