/Szkoła średnia/Równania/Układy równań/Stopnia 2

Zadanie nr 1334482

Rozwiąż układ równań { 2x+ xy + 2y = −1 3 x− 2xy + y = 4 6.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z pierwszego równania mamy xy = −1 3− 2x− 2y . Wstawiając to do drugiego równania mamy

x − 2 (−1 3− 2x− 2y) + y = 46 x + 2 6+ 4x+ 4y + y = 46 5x + 5y = 20 x + y = 4

Sposób I

Podstawiamy y = 4− x do pierwszego równania.

2x + x(4 − x) + 2(4 − x) = − 13 2 2x + 4x − x + 8 − 2x = − 13 0 = x2 − 4x − 21 Δ = 16+ 84 = 100 = 102 4 − 10 4+ 10 x1 = -------= − 3, x2 = -------= 7 . 2 2

Daje to odpowiednio y1 = 4 − x1 = 7 i y 2 = 4− x2 = − 3 i otrzymujemy dwie pary rozwiązań:

(− 3,7),(7,− 3).

Sposób II

Podstawiając x+ y = 4 do drugiego równania mamy

4 − 2xy = 46 ⇐ ⇒ 2xy = −4 2 ⇐ ⇒ xy = − 21.

Mamy więc

{ x+ y = 4 xy = − 21.

Na mocy wzorów Viète’a rozwiązania tego układu równań są pierwiastkami równania kwadratowego

2 t − 4t − 21.

Rozwiązując równanie tak jak poprzednio otrzymamy dwa pierwiastki t = − 3 i t = 7 . Zatem (x,y) = (− 3,7) lub (x,y) = (7,− 3) .  
Odpowiedź: (x ,y ) = (− 3,7) lub (x,y ) = (7,− 3)

Wersja PDF