/Szkoła średnia/Funkcje/Homografia

Zadanie nr 1907485

Funkcja homograficzna jest określona wzorem px−3- f(x) = x−p gdzie p ∈ R i √ -- |p| ⁄= 3 .

  • Dla p = 1 zapisz wzór funkcji w postaci -m-- f(x) = k+ x−1 , gdzie k,m ∈ R .
  • Wyznacz wszystkie wartosci p , dla których w przedziale (p ;+ ∞ ) funkcja jest malejąca.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Przekształcamy
    x-−-3-= x−--1−--2-= 1 + --−2--. x − 1 x− 1 x − 1

     
    Odpowiedź: −-2- 1+ x−1

  • Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej (jak w poprzednim podpunkcie).
    px − 3 px − p 2 + p 2 − 3 p 2 − 3 -------= ----------------- = p + -------. x − p x− p x − p

Po pierwsze zauważmy, że licznik 2 p − 3 musi być dodatni, bo inaczej funkcja zbiegając do + ∞ byłaby rosnąca (jak −1 -x- ). Przy tym założeniu funkcja ta jest malejąca na przedziale (p,+ ∞ ) , bo jest przesunięciem funkcji p2−3- x o wektor [p,p ] .

Dla ciekawskich przykładowy wykres dla p = 2 .

PIC

 
Odpowiedź: √ -- √ -- p ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ ( 3,+ ∞ )

Wersja PDF