/Szkoła średnia/Funkcje/Homografia

Zadanie nr 5776977

Funkcja homograficzna f jest monotoniczna w przedziałach (− ∞ ;0 ) i (0;+ ∞ ) . Zbiór R ∖ {3} jest zbiorem wartości tej funkcji, a wartość 5 funkcja przyjmuje dla argumentu 3.

  • Znajdź wzór funkcji f .
  • Wyznacz miejsce zerowe funkcji f .
  • Wyznacz te argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od 1.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Najlepiej jest myśleć o wykresie funkcji (który jest hiperbolą), z podanych informacji wynika, że jego asymptoty to x = 0 i y = 3 . Zatem ma ona wzór postaci
    a- y = x + 3.

    Współczynnik a możemy wyznaczyć z warunku f (3) = 5 .

    a 5 = --+ 3 ⇒ a = 6. 3

     
    Odpowiedź: f (x) = 6 + 3 x

  • Liczymy
    6 --+ 3 = 0 x 6 + 3x = 0 3x = − 6 ⇒ x = − 2.

     
    Odpowiedź: x = − 2

  • Liczymy
    6-+ 3 > 1 x 6-+-2x- x > 0 2x(x + 3 ) > 0 x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (0,+ ∞ ).

Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji f .

PIC

 
Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (0,+ ∞ )

Wersja PDF