/Szkoła średnia/Funkcje/Homografia

Zadanie nr 8695539

Wyznacz wszystkie wartości parametru a ∈ R , dla których funkcja ax−1- y = a−x jest rosnąca w każdym przedziale, na którym jest określona. Dla a = 2 wyznacz zbiór wartości funkcji.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy do czynienia z funkcją homograficzną. Sprowadźmy ją do postaci kanonicznej.

2 2 ax−--1-= − ax-−--1 = − ax-−-a--+-a--−-1-= a − x x − a x− a a (x− a) a2 − 1 a2 − 1 1− a2 = − ---------− ------ = −a − ------ = −a + ------. x − a x − a x− a x − a

Widać teraz, że jest to hiperbola 2 y = 1−ax- przesunięta o wektor [a,−a ] . Hiperbola ta jest rosnąca na przedziałach (− ∞ ,a) i (a,+ ∞ ) dokładnie wtedy, gdy licznik jest ujemny (dla a = ± 1 mamy stałą funkcję liniową). Mamy więc nierówność

2 1 − a < 0 a 2 − 1 > 0 (a − 1 )(a + 1 ) > 0 a ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (1,+ ∞ ).

Dla a = 2 wykresem jest hiperbola y = − 3 x przesunięta o wektor [2,− 2] . Po naszkicowaniu tego wykresu widać, że zbiorem wartości jest zbiór (− ∞ ,− 2) ∪ (− 2,+ ∞ ) .

PIC

Sposób II

Dana funkcja będzie rosnąca na przedziałach określoności dokładnie wtedy, gdy jej pochodna będzie stale dodatnia. Liczymy pochodną.

′ a(a− x)− (ax− 1)⋅(− 1) a2 − 1 (a− 1)(a+ 1) y = ----------------2---------= -------2-= ----------2---. (a − x ) (a − x) (a− x)

Widać teraz, że y′ > 0 dla a ∈ (− ∞ ,− 1 ) i (1 ,+∞ ) .

Dla a = 2 mamy funkcję.

2x − 1 2x − 4 + 3 3 3 y = -------= -----------= − 2+ ------= − 2 − ------. 2− x 2− x 2− x x − 2

Jest to więc hiperbola 3 y = − x przesunięta o wektor [2,− 2] . Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór: (− ∞ ,− 2) ∪ (− 2,+ ∞ ) .

Sposób III

Sprawdzamy z definicji, kiedy funkcja ax−1- f(x ) = a−x jest rosnąca na każdym z przedziałów (− ∞ ,a) i (a,+ ∞ ) . Niech y > x będą dwoma liczbami z jednego z tych przedziałów.

f(y)− f(x) = ay−--1-− ax-−-1-= (ay-−-1)(a-−-x-)−-(ax-−-1-)(a−-y-)= a − y a− x (a− y)(a− x) 2 2 = a-y-−-axy-−-a-+-x-−-a-x-+-axy-+--a−--y = (a− y)(a− x) 2 2 = a-(y-−-x)-−-(y-−-x)-= (a-−--1)(y−--x)-= (a−--1)(a+--1)(y−--x). (a − y )(a− x ) (a − y)(a − x ) (a − y)(a − x)

Ponieważ y > x i liczby te są obie mniejsze lub większe od a , powyższe wyrażenie jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy (a− 1 )(a+ 1 ) > 0 , czyli dla a ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (1,+ ∞ ) .

Dla a = 2 mamy funkcję.

y = 2x-−-1-= 2x-−-4-+-3-= − 2+ --3---= − 2 − ---3--. 2− x 2− x 2− x x − 2

Jest to więc hiperbola 3 y = − x przesunięta o wektor [2,− 2] . Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór: (− ∞ ,− 2) ∪ (− 2,+ ∞ ) .  
Odpowiedź: a ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (1,+ ∞ ) , zbiór wartości: (− ∞ ,− 2) ∪ (−2 ,+ ∞ ) .

Wersja PDF