/Szkoła średnia/Funkcje/Homografia

Zadanie nr 9405851

Funkcja 2−x- f(x) = x+b przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy gdy x < − 5 lub x > 2 .

  • Oblicz b .
  • Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.
  • Wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja f osiąga wartości nie większe niż funkcja 3x+8 g (x) = -x+5- .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Funkcja f jest ujemna dokładnie w tych samych przedziałach co trójmian
    (2 − x )(x+ b) = − (x − 2)(x − (−b )),

    który jest ujemny poza przedziałem o końcach 2 i − b . Zatem musi być

    −b = − 5 ⇒ b = 5.

     
    Odpowiedź: b = 5

  • Przekształcamy
    2 − x 2+ 5− 5− x 7 ------= --------------= ------− 1. x + 5 x+ 5 x + 5

     
    Odpowiedź: x7+5-− 1

  • Mamy nierówność
    2− x 3x + 8 ------≤ ------- x+ 5 x + 5 0 ≤ 3x-+-8-− 2−--x- x+ 5 x+ 5 4x + 6 0 ≤ ------- / : 4 x+ 5 x-+-32- 0 ≤ x + 5 ( ) 0 ≤ x + 3- (x + 5) ∧ x ⁄= − 5. 2

    Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór (− ∞ ,−5 )∪ ⟨− 3,+ ∞ ) 2 .  
    Odpowiedź: 3 (− ∞ ,− 5)∪ ⟨− 2,+∞ )

Wersja PDF