/Szkoła średnia/Funkcje/Homografia

Zadanie nr 9474654

Funkcja homograficzna f jest monotoniczna w przedziałach (− ∞ ;2 ) i (2;+ ∞ ) . Zbiór R ∖ {0} jest zbiorem wartości tej funkcji, a wartość 1 funkcja przyjmuje dla argumentu 6.

  • Znajdź wzór funkcji f .
  • Naszkicuj wykres funkcji f .
  • Uzasadnij, że funkcja f nie jest monotoniczna w zbiorze (− ∞ ;2)∪ (2;+ ∞ ) .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Najlepiej jest myśleć o hiperboli będącej wykresem funkcji f – z podanych informacji wynika, że ma ona asymptoty x = 2 i y = 0 . Funkcja ma zatem wzór postaci
    --a--- f(x) = x− 2.

    Współczynnik a wyznaczymy z warunku f(6) = 1 .

    a 1 = f(6) = -- ⇒ a = 4. 4

     
    Odpowiedź: f(x ) = -4-- x−2

  • Wykres funkcji f(x) powstaje z wykresu funkcji 4 x przez przesunięcie o 2 jednostki w prawo.
    PIC
  • Aby pokazać, że funkcja nie jest monotoniczna musimy pokazać, że nie jest ani malejąca ani rosnąca. Łatwo znaleźć odpowiednie punkty
    4 = f(3) > f(0) = − 2 − 2 = f(0) < f (− 2) = − 1.

    Pierwsza nierówność oznacza, że funkcja nie jest malejąca, druga, że nie jest rosnąca.

Wersja PDF