Zadanie nr 9474654

Funkcja homograﬁczna jest monotoniczna w przedziałach (− ∞ ;2 ) i (2;+ ∞ ) . Zbiór R ∖ {0} jest zbiorem wartości tej funkcji, a wartość 1 funkcja przyjmuje dla argumentu 6.

Znajdź wzór funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Uzasadnij, że funkcja nie jest monotoniczna w zbiorze .

Rozwiązanie

Najlepiej jest myśleć o hiperboli będącej wykresem funkcji – z podanych informacji wynika, że ma ona asymptoty i . Funkcja ma zatem wzór postaci
$--a--- f(x) = x− 2.$

Współczynnik wyznaczymy z warunku .

$a 1 = f(6) = -- ⇒ a = 4. 4$

Odpowiedź:
Wykres funkcji powstaje z wykresu funkcji przez przesunięcie o 2 jednostki w prawo.
Aby pokazać, że funkcja nie jest monotoniczna musimy pokazać, że nie jest ani malejąca ani rosnąca. Łatwo znaleźć odpowiednie punkty
$4 = f(3) > f(0) = − 2 − 2 = f(0) < f (− 2) = − 1.$

Pierwsza nierówność oznacza, że funkcja nie jest malejąca, druga, że nie jest rosnąca.