/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2009

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 25 kwietnia 2009 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt)

Przekątne trapezu o podstawach długości 1 i 2 są prostopadłe. Oblicz sumę kwadratów długości przekątnych trapezu.

Zadanie 2

(4 pkt)

Rozwiąż układ równań { |x |− y = 1 x2 + y2 + 2y = 7.

Zadanie 3

(5 pkt)

Rozważmy cięciwy paraboli y = x2 + 4x+ 3 przechodzące przez punkt (1,0) , przy czym przez cięciwę rozumiemy prostą przecinającą tę parabolę w dwóch punktach i . Wyznacz współrzędne punktów i , dla których suma współrzędnych środka odcinka cięciwy jest równa − 2 .

Zadanie 4

(5 pkt)

Dla jakich liczb x ∈ ⟨0 ,2π⟩ liczby √ -- 1, 2 sin x,co s2x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Zadanie 5

(5 pkt)

Ze zbioru {−n ,− (n− 1),...,− 1,0,1,...,n − 1,n} , gdzie n ≥ 1 losujemy dwie liczby (mogą się powtarzać). Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wartości bezwzględnych wylosowanych liczb jest nie większa niż .

Zadanie 6

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby całkowite , dla których równanie

x 4 − 5mx 3 + (m 2 − 6)x2 + 4mx − 1 = 0

nie ma rozwiązań wymiernych.

Zadanie 7

(4 pkt)

Uporządkuj rosnąco liczby a = 2lo1g-2-+ lo1g-4, b = lo g515 , c = 3log94 3 5 .

Zadanie 8

(5 pkt)

W czworokącie ABCD o obwodzie 24 dane są |∡ABC | = 120∘ oraz √ -- |BD | = 4 3 . Wiedząc, że środek przekątnej jest środkiem symetrii tego czworokąta oblicz jego pole.

Zadanie 9

(5 pkt)

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2, a ciąg (b ) n zdeﬁniowany jest wzorem an+1 bn = (an ) , dla n ≥ 1 . Wyznacz wartość , dla której bn+ 1 − bn = 2a8 + 1 .