/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2009

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 4 kwietnia 2009 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: |BC | = 6 , |CA | = 8 . Na boku AC wybrano punkt D tak, że odcinki BD i AD mają równe długości. Oblicz długość odcinka CD .

Zadanie 2
(5 pkt)

Dana jest funkcja f (x) = logx 2 .

  • Określ dziedzinę funkcji f (x) .
  • Naszkicuj wykres funkcji g(x) = ---1---+ 1 |f(x+3)| .
  • Odczytaj z wykresu maksymalne przedziały monotoniczności funkcji g (x) .

Zadanie 3
(5 pkt)

Wierzchołek C trójkąta ABC leży na okręgu o równaniu 2 2 x + 12x + y − 2y + 21 = 0 , a pozostałe wierzchołki mają współrzędne A = (− 4,1) i B = (2 ,1) . Oblicz wartość wyrażenia

sin ∡ABC ----------. sin ∡BAC

Zadanie 4
(4 pkt)

Opuszczone z wysokości 705,6 m ciało w ciągu pierwszej sekundy przebyło drogę 4,9 m, a w każdej następnej sekundzie przebyło drogę o 9,8 m dłuższą niż w poprzedniej sekundzie. Po ilu sekundach ciało spadło na powierzchnię Ziemi?

Zadanie 5
(4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie pięcioma sześciennymi kostkami do gry otrzymamy sumę oczek różną od 28.

Zadanie 6
(5 pkt)

Na bokach AB i AC trójkąta ABC , który nie jest równoramienny, wybrano takie punkty D i E , że |AD | : |DB | = 1 : k oraz |AE | : |EC | = k : 1 , dla k ∈ (0 ,+∞ ) .

PIC

  • Wyznacz wzór funkcji f (k) , która jest zdefiniowana jako stosunek pól trójkątów ADE i ABC .
  • Wiedząc że |AB| |AC| = m , dla m ∈ (0,1 ) wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których trójkąty ADE i ABC są podobne.

Zadanie 7
(5 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej f(x ) = − 2x2 + 3x − 1 przesunięto o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy . Otrzymano w ten sposób wykres funkcji 2 g (x ) = − 2x + 7x − 5 .

  • Wyznacz liczby p i q .
  • Rozwiąż równanie |g(x )f(x) − g(x)| = g(x ) .

Zadanie 8
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność -22- + x2+-1 > 2 x + 1 2 .

Zadanie 9
(5 pkt)

Ciąg (an) określony jest przez warunki { a1 = a2 = 1 an+2 = −an dla n ≥ 1.

  • Wypisz 6 początkowych wyrazów ciągu (an) .
  • Oblicz sumę 20 początkowych wyrazów ciągu (bn) danego wzorem a bn = 2nn .

Zadanie 10
(5 pkt)

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = 10x + 15x + 7x+ 1 .

  • Zapisz wielomian W (x) jako iloczyn wielomianów liniowych.
  • Określ dziedzinę funkcji ( ) f (x) = log (−x ) + log − W-(x) 3 3 x .

Zadanie 11
(5 pkt)

W stożek o promieniu podstawy 6 i wysokości 8 wpisujemy graniastosłupy prawidłowe sześciokątne tak, że jedna podstawa jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki należą do powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość graniastosłupa o największym polu powierzchni bocznej.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania