/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2009

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 9 maja 2009 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

W prostokącie, którego krótszy bok ma długość 8 zawarty jest kwadrat o boku równym różnicy

PIC

długości boków prostokąta, i którego przekątne są równoległe do boków prostokąta.

  • Wyraź pole pozostałe po wycięciu kwadratu z prostokąta jako funkcję dłuższego boku prostokąta. Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji.
  • Wykaż, że różnica pól prostokąta i kwadratu jest zawsze większa od 64.

Zadanie 2
(4 pkt)

Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch kolejnych nieparzystych liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej.

Zadanie 3
(4 pkt)

Współrzędne przeciwległych wierzchołków prostokąta ABCD są równe A = (5,− 3), C = (− 7,1) . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta wiedząc, że wierzchołek B leży na prostej y = 5 .

Zadanie 4
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 4 + sin xco sx − 5 sin 2x = 4 cos2x należące do przedziału ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 5
(4 pkt)

Boja ma kształt dwóch stożków połączonych podstawami, przy czym kąty rozwarcia tych stożków są równe ∘ 60 i ∘ 9 0 , a odległość ich wierzchołków jest równa √ -- 3+ 1 . Oblicz pole powierzchni tej boi.

PIC

Zadanie 6
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których wielomian

4 2 W (x) = x − 2x + mx (1+ x)− x = 0

ma 4 różne pierwiastki.

Zadanie 7
(6 pkt)

Na bokach AD i CD kwadratu ABCD o boku długości 1 wybrano punkty E i F w ten sposób, że AE = 1k i DF = 1m- , dla k,m ∈ (1,+ ∞ ) . Niech S będzie punktem przecięcia odcinków AF i BE

PIC

  • Wykaż, że jeżeli trójkąt ABS jest prostokątny to k = m .
  • Oblicz cosinus kąta ASB jeżeli k = 3 i m = 2 .

Zadanie 8
(5 pkt)

Dla każdej liczby n ∈ { 1,2,...,10} tworzymy funkcję fn(x ) , której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f(x) = log 2x o wektor [0 ,−n ] .

  • Oblicz sumę wszystkich miejsc zerowych funkcji f1,f2,...,f10 .
  • Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = f (x)+ f (x)+ ⋅⋅⋅+ f (x) 1 2 10 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Wyznacz iloraz niezerowego ciągu geometrycznego, w którym suma 10 początkowych wyrazów jest 5 razy większa od sumy pierwszych 5 wyrazów.

Zadanie 10
(5 pkt)

Wykres funkcji f , określonej dla x ∈ R następującym wzorem

f(x) = (a− 3 )x2 − 2ax + 3a − 6

przecina dodatnią półoś Ox w dwóch różnych punktach.

  • Oblicz wartość wyrażenia |(a−-1)(8−a)(a−7)(2a−3)| (a− 1)(8−a)(a−7)(2a−3) .
  • Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych m > n > 0 spełniona jest nierówność f(−m 2) > f(−n 2) .

Zadanie 11
(5 pkt)

Na loterii jest n losów, w tym 4 wygrywające. Kupujemy 2 losy. Dla jakiej liczby n prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego losu wygrywającego jest równe 11 14 ?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania