/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2009

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 13 maja 2009 Czas pracy: 120 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem

{ 2x − 3 dla x < 2 f(x) = 1 dla 2 ≤ x ≤ 4
  • Uzupełnij tabelę:
    x -33 
    f(x)   0
  • Narysuj wykres funkcji f(x ) .
  • Podaj liczby całkowite x , spełniające nierówność f(x) ≥ − 6 .

Zadanie 2
(3 pkt)

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona m , a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n .

Zadanie 3
(5 pkt)

Wykres funkcji f danej wzorem 2 f(x ) = − 2x przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g .

  • Rozwiąż nierówność f(x) + 5 < 3x .
  • Podaj zbiór wartości funkcji g .
  • Funkcja g określona jest wzorem g(x) = −2x 2 + bx+ c . Oblicz b i c .

Zadanie 4
(3 pkt)

Wykaż, że liczba 354 jest rozwiązaniem równania 24311 − 8114 + 7x = 927 .

Zadanie 5
(5 pkt)

Wielomian W dany jest wzorem W (x ) = x3 + ax2 − 4x + b .

  • Wyznacz a,b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P , gdy 3 2 P (x) = x + (2a + 3)x + (a + b + c)x − 1 .
  • Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Zadanie 6
(5 pkt)

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa α .

  • Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin α− tg α < 0 .
  • Dla √ - sin α = 2--2 3 oblicz wartość wyrażenia cos3α + co sα ⋅sin 2α .

Zadanie 7
(6 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) dla n ≥ 1 , w którym a7 = 1, a11 = 9 .

  • Oblicz pierwszy wyraz a 1 i różnicę r ciągu (a ) n .
  • Sprawdź, czy ciąg (a7,a8,a11) jest geometryczny.
  • Wyznacz takie n , aby suma n początkowych wyrazów ciągu (an) miała wartość najmniejszą.

Zadanie 8
(4 pkt)

W trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18, a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB , zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

PIC

Zadanie 9
(4 pkt)

Punkty B = (0,1 0) i O = (0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB , w którym |∡OAB | = 90∘ . Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu y = 1x 2 . Oblicz współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA .

Zadanie 10
(5 pkt)

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

Liczba błędów 012345678
Liczba zdających858521001
  • Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
  • Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 11
(5 pkt)

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze 30∘ .

  • Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
  • Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od √ -- 18 3 . Odpowiedź uzasadnij.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania