Zadanie nr 1963037

Zanim zajmiemy się dziedziną równania, spróbujmy je przekształcić.

Tak więc równanie jest zawsze spełnione, o ile ma sens, i o ile powyższe przejścia były równoważnościami (jeżeli podnosiliśmy równanie do kwadratu, to strony musiały być nieujemne). Sprawdźmy najpierw jaka jest dziedzina równania.

Zatem dziedziną równania jest zbiór .

Pozostało sprawdzić kiedy

i

Liczymy

Druga nierówność

Jeżeli dokładnie popatrzymy na poprzednie rozwiązanie, to można zauważyć, że

Podane równanie możemy więc zapisać w postaci

Jak zwykle w tego typu równaniu, mamy trzy przypadki

, czyli . Mamy wtedy równanie

Jeżeli , to mamy tożsamościowe równanie

Jeżeli natomiast to mamy

Tak jak poprzednio zauważamy, że

co daje nam równanie

Tym razem jednak, zamiast rozważać przypadki, skorzystajmy z interpretacji geometrycznej wyrażenia – jest dokładnie odległość od . Powyższe równanie jest zatem zapisem tego, że suma odległości od 2 i od 3 jest równa 1. Gdy sobie to naszkicujemy, to jest jasne, że tak będzie dokładnie wtedy gdy jest w przedziale (na zewnątrz tego przedziału suma odległości jest większa od 1, a w środku jest to dokładnie odległość między 2 i 3). Mamy zatem

Podstawmy (możemy tak podstawić, bo jest pod pierwiastkiem, więc musi być ). Załóżmy ponadto, że . Wtedy i otrzymujemy równanie

Rozważmy teraz przypadki.
Jeżeli to mamy

Założyliśmy jednak, że , więc w tym przypadku nie ma rozwiązań.
Jeżeli to mamy

Mamy więc w tym przypadku .
W końcu, jeżeli to mamy

Zbierając razem wszystkie przypadki mamy więc . Pozostało wyliczyć .

 
Odpowiedź: