/Szkoła średnia/Równania/Potęgowe i pierwiastki

Zadanie nr 6008108

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie √ --2------------ 4x + 20x + 25 + 3x + 8 = 0 .

Rozwiązanie

Aby pozbyć się pierwiastka musimy podnieść równanie do kwadratu, w tym celu zapiszmy je w postaci

∘ --------------- 4x2 + 20x + 25 = − 3x− 8.

Zanim podniesiemy to równanie do kwadratu, mała przestroga. Na ogół po podniesieniu do kwadratu otrzymamy równanie, które ma więcej pierwiastków niż wyjściowe (np. x = 1 i x2 = 12 = 1 ). Aby poradzić sobie z tym problemem mamy dwie możliwości. Pierwszy sposób to sprawdzenie wszystkich otrzymanych rozwiązań i odrzucenie tych, które są błędne. Druga metoda, to sprawdzenie kiedy prawa strona równania jest nieujemna – przy takim założeniu podnoszenie do kwadratu da nam równoważne równanie (nie będzie dodatkowych pierwiastków). My zastosujemy tę drugą metodę, tzn. załóżmy, że 8 x ≤ − 3 . Teraz przekształcamy

∘ --2------------ 2 4x + 20x + 25 = − 3x− 8 / () 4x 2 + 20x + 25 = 9x 2 + 4 8x+ 64 2 0 = 5x + 28x + 39.

Dalej, Δ = 784 − 780 = 4 ,

x = −-28-−-2-= −3 1 10 −-28-+-2- −-13- 8- x 2 = 10 = 5 > − 3.

Widać więc, że równanie ma tylko jedno rozwiązanie x = − 3 .  
Odpowiedź: x = −3

Wersja PDF