Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1963037

Rozwiąż równanie ∘ ---------√------- ∘ ---------√------- 3 + x − 4 x − 1 + 8+ x− 6 x − 1 = 1 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zanim zajmiemy się dziedziną równania, spróbujmy je przekształcić.

∘ ---------√------- ∘ ---------√------- 3 + x − 4 x − 1 = 1− 8+ x − 6 x − 1 /()2 √ ------ ∘ ---------√------- √ ------ 3+ x− 4 x − 1 = 1 − 2 8+ x− 6 x − 1 + 8+ x − 6 x − 1 ∘ ----------------- ------ 2 8 + x − 6√ x − 1 = 6− 2√ x − 1 ∘ ----------------- √ ------ √ ------ 2 8 + x −√6--x-−-1 = 3−√ --x−--1 / () 8+ x− 6 x − 1 = 9 − 6 x − 1 + x − 1 0 = 0.

Tak więc równanie jest zawsze spełnione, o ile ma sens, i o ile powyższe przejścia były równoważnościami (jeżeli podnosiliśmy równanie do kwadratu, to strony musiały być nieujemne). Sprawdźmy najpierw jaka jest dziedzina równania.

x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 √ ------ 3 + x − 4 x − 1 ≥ 0 √ ------ 3 + x ≥ 4 x− 1 9 + 6x + x 2 ≥ 16x − 16 x 2 − 10x + 25 ≥ 0 2 (x − 5) ≥√ -0---- 8 + x − 6 x − 1 ≥ 0 √ ------ 8 + x ≥ 6 x− 1 2 64 + 16x + x ≥ 36x − 3 6 x 2 − 20x + 100 ≥ 0 2 (x − 10 ) ≥ 0.

Zatem dziedziną równania jest zbiór x ≥ 1 .

Pozostało sprawdzić kiedy

 ∘ ----------------- √ ------ 1 − 8+ x− 6 x − 1 ≥ 0

i

 √ ------ 3 − x − 1 ≥ 0.

Liczymy

 ∘ ---------√------- 1 ≥ 8+ x− 6 x − 1 / ()2 √ ------ 1√≥-8-+-x − 6 x− 1 6 x − 1 ≥ x+ 7 / ()2 36x − 3 6 ≥ x2 + 14x + 49 2 0 ≥ x − 2 2x+ 85 Δ = 484 − 340 = 144 x1 = 5, x2 = 17 x ∈ ⟨5,1 7⟩.

Druga nierówność

 √ ------ 3 ≥ x− 1 9 ≥ x − 1 10 ≥ x.

Sposób II

Jeżeli dokładnie popatrzymy na poprzednie rozwiązanie, to można zauważyć, że

 √ ------ √ ------ 3+ x− 4 x − 1 = (2 − x − 1 )2 √ ------ √ ------ 2 8+ x− 6 x − 1 = (3 − x − 1 ) .

Podane równanie możemy więc zapisać w postaci

 √ ------ √ ------ |2 − x − 1| + |3− x− 1| = 1.

Jak zwykle w tego typu równaniu, mamy trzy przypadki

 √ ------ 2 ≥ x − 1 , czyli x ≤ 5 . Mamy wtedy równanie

 √ ------ √ ------ 2√−---x-− 1 + 3 − x − 1 = 1 2 x − 1 = 4 √ ------ x − 1 = 2 x = 5.

Jeżeli x ∈ (5,10) , to mamy tożsamościowe równanie

√ ------ √ ------ x − 1 − 2 + 3 − x − 1 = 1.

Jeżeli natomiast x ≥ 10 to mamy

√ ------ √ ------ x − 1 − 2 + x − 1 − 3 = 1 2√x--−-1-= 6 √ ------ x − 1 = 3 x = 10.

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że

 √ ------ √ ------ 3+ x− 4 x − 1 = (2 − x − 1)2 √ ------ √ ------2 8+ x− 6 x − 1 = (3 − x − 1) ,

co daje nam równanie

 √ ------ √ ------ |2 − x − 1| + |3− x− 1| = 1.

Tym razem jednak, zamiast rozważać przypadki, skorzystajmy z interpretacji geometrycznej wyrażenia |x− a| – jest dokładnie odległość x od a . Powyższe równanie jest zatem zapisem tego, że suma odległości √x--−-1- od 2 i od 3 jest równa 1. Gdy sobie to naszkicujemy, to jest jasne, że tak będzie dokładnie wtedy gdy √ ------ x− 1 jest w przedziale ⟨2,3⟩ (na zewnątrz tego przedziału suma odległości jest większa od 1, a w środku jest to dokładnie odległość między 2 i 3). Mamy zatem

 √ ------ 3 ≥ x − 1 ≥ 2 /()2 9 ≥ x − 1 ≥ 4 / + 1 10 ≥ x ≥ 5.

Sposób IV

Podstawmy x− 1 = t2 (możemy tak podstawić, bo x − 1 jest pod pierwiastkiem, więc musi być x ≥ 1 ). Załóżmy ponadto, że t ≥ 0 . Wtedy x = t2 + 1 i otrzymujemy równanie

∘ ---------------- ∘ ---------------- 2 2 3+ t + 1 − 4|t|+ 8+ t + 1 − 6|t| = 1 ∘ 2---------- ∘ -2--------- ∘ t-−-4t-+ 4+∘ ---t-−--6t+ 9 = 1 2 2 (t− 2) + (t − 3) = 1 |t− 2|+ |t− 3| = 1.

Rozważmy teraz przypadki.
Jeżeli t ∈ ⟨0,2) to mamy

− t+ 2 − t+ 3 = 1 2t = 4 ⇐ ⇒ t = 2 .

Założyliśmy jednak, że t < 2 , więc w tym przypadku nie ma rozwiązań.
Jeżeli t ∈ ⟨2,3) to mamy

t− 2 − t+ 3 = 1 1 = 1.

Mamy więc w tym przypadku t ∈ ⟨2,3) .
W końcu, jeżeli t ≥ 3 to mamy

t− 2 + t − 3 = 1 2t = 6 ⇐ ⇒ t = 3 .

Zbierając razem wszystkie przypadki mamy więc t ∈ ⟨2 ,3 ⟩ . Pozostało wyliczyć x .

 2 2 ≤ t ≤ 3 /() 4 ≤ t2 ≤ 9 /+ 1 2 5 ≤ t + 1 ≤ 10 5 ≤ x ≤ 10.

 
Odpowiedź: x ∈ ⟨5,1 0⟩

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!