Zadanie nr 9411924
Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji
![( )2 f(x ) = 1+ x-+-2-+ x-+-2- + ... x + 4 x + 4](https://img.zadania.info/zad/9411924/HzadT0x.gif)
Naszkicuj wykres funkcji .
Rozwiązanie
Wzór definiujący funkcję , to suma szeregu geometrycznego o ilorazie
. Sprawdźmy najpierw, kiedy szereg ten jest zbieżny, tzn. kiedy
.
![| | ||x-+--2||< 1 / ⋅|x + 4| |x + 4| 2 |x+ 2| < |x+ 4| /() (x + 2)2 < (x + 4)2 x2 + 4x + 4 < x2 + 8x+ 16 − 12 < 4x ⇐ ⇒ − 3 < x.](https://img.zadania.info/zad/9411924/HzadR3x.gif)
Oczywiście musimy też mieć (ze względu na mianownik), ale przy otrzymanym warunku:
jest to spełnione automatycznie.
Wiem już kiedy szereg jest zbieżny, to obliczmy jego sumę.
![f (x) = --a1--= ---1----= --1- = x+--4-= 1-x+ 2. 1 − q 1 − xx++-24 x+24 2 2](https://img.zadania.info/zad/9411924/HzadR6x.gif)
Jest to więc fragment rosnącej funkcji liniowej.
Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział
![( ) ( ) 1⋅ (− 3)+ 2 ,+∞ = 1-,+ ∞ . 2 2](https://img.zadania.info/zad/9411924/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: ,