Zadanie nr 9710906
Wyznacz dziedzinę funkcji
![∘ ------------------- y = 3-+ 3--+ -3-+ 3-+ lo g 5−--x. x x2 x3 x4 2x+2 6− x](https://img.zadania.info/zad/9710906/HzadT0x.gif)
Rozwiązanie
Ponieważ jest w mianowniku, musimy mieć
.
Sposób I
Spróbujmy na początek ustalić kiedy wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne.
![3 3 3 3 3(x 3 + x 2 + x + 1) --+ --2 + -3-+ ---= -------------------= x x x x 4 x4 3(x2(x-+-1-)+-x-+-1)- 3(x-2 +-1)(x-+-1-) = x4 = x4 .](https://img.zadania.info/zad/9710906/HzadR2x.gif)
Widać, że wyrażenie to jest nieujemne dla .
Zajmijmy się teraz logarytmem. Podstawa logarytmu musi być dodatnia, czyli oraz musi być różna od 1, czyli
. Ponadto, argument logarytmu musi być dodatni, czyli
![5− x ------> 0 6− x x−--5- x− 6 > 0 (x − 5 )(x − 6) > 0 x ∈ (−∞ ,5 )∪ (6,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/9710906/HzadR6x.gif)
Zbierając wszystkie warunki razem mamy dziedzinę
![( 1 ) ( 1 ) − 1,− -- ∪ − -,0 ∪ (0 ,5 )∪ (6,+ ∞ ). 2 2](https://img.zadania.info/zad/9710906/HzadR7x.gif)
Sposób II
Tym razem zauważmy, że pod pierwiastkiem mamy sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie . Widać, że
należy do dziedziny funkcji, a jeżeli
to możemy skorzystać ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
![3 3 3 3 3 1− 1x4 3 x 4 − 1 --+ -2 + -3-+ -4-= --⋅ ----1--= --⋅ -4----3-= x x x x x 1 − x x x − x 3 (x 2 − 1 )(x2 + 1) 3 (x− 1)(x + 1)(x2 + 1) 3 2 = -4-⋅ -----------------= --4 ⋅-----------------------= -4(x + 1)(x + 1). x x − 1 x x − 1 x](https://img.zadania.info/zad/9710906/HzadR11x.gif)
Widać teraz, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne dla . Dalej postępujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: