Zadanie nr 6261702
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wykresy funkcji
i
, określonych wzorami
oraz
, przecinają w dwóch punktach znajdujących się powyżej osi
układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Sposób I
Próbujemy wyznaczyć punkt wspólny wykresów danych funkcji.

Zauważmy, że równanie to ma zawsze dwa rozwiązania, bo . Jeżeli oznaczmy te rozwiązania przez
i
, to odpowiadają im
oraz
. Nasze zadanie polega na ustaleniu kiedy
i
. Będziemy chcieli te warunki zapisać przy pomocy wzorów Viète’a

więc dodatniość i
zamieniamy na równoważny warunek dodatniości
i
. Musimy więc rozwiązać układ nierówności

W powyższym układzie dwukrotnie występuje

Podstawiamy to wyrażenie do układu.

Mamy stąd .
Sposób II
Spróbujmy naszkicować opisaną sytuację.

Wszystkie proste postaci przechodzą przez punkt
. Jeżeli
, to mamy poziomą prostą, która przecina parabolę na poziomie
, więc wyraźnie powyżej osi
. Jeżeli natomiast
będzie rosnąć lub maleć, to prosta
zacznie się obracać (w jedną lub drugą stronę) i punkty wspólne z parabolą będą tak długo powyżej osi
jak długo prosta nie znajdzie się w jednym z dwóch skrajnych położeń, gdy przecina parabolę na osi
, czyli w punktach
lub
. Jak łatwo sprawdzić te skrajne położenia odpowiadają odpowiednio wartościom
i
. W takim razie punkty wspólne danej paraboli i prostej są powyżej osi
dla
.
Odpowiedź: