Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3483639

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez jego wysokość oraz przez dwie krawędzie boczne jest dwukrotnie większe od pola podstawy i wynosi  √ -- 6 3 . Oblicz odległość spodka wysokości ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oczywiście najważniejszy jest rysunek.


PIC


W podstawie ostrosłupa mamy 6 trójkątów równobocznych, oznaczmy długość ich boku przez a . Zatem pole podstawy to

 √ -- √ -- √ -- a2--3- 3--3- 2 √ -- 3 3 = Ppod = 6 ⋅ 4 = 2 a ⇒ a = 2.

Mamy jeszcze informację o polu przekroju BES .

6 √ 3 = 1-⋅2a ⋅H = √ 2H ⇒ H = 3√ 6, 2

gdzie H – wysokość ostrosłupa.

Szukana odległość to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym BP S . Możemy ją obliczyć na różne sposoby, np. z podobieństwa trójkątów P RS i BP S lub z porównania dwóch wzorów na pole trójkąta BP S . My zrobimy to tą drugą metodą. Pole trójkąta BP S jest równe

 √ -- √ -- √ -- P = 1-a⋅H = 1⋅ 2⋅3 6 = 3 3. BPS 2 2

Policzmy jeszcze długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie.

 ∘ -------- √ ------- √ --- √ --- SB = a2 + H 2 = 2 + 54 = 56 = 2 14 .

Mamy zatem

 1- PBPS = 2SB ⋅PR √ -- √ --- √ -- √ --- 3 3 = 1-⋅2 14 ⋅PR ⇒ P R = 3√--3-= 3--42. 2 14 14

 
Odpowiedź:  √ -- 3--42 14

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!