/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy sześciokątny

Zadanie nr 9920936

Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘ i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Opiszmy trochę dokładniej dany rysunek.


ZINFO-FIGURE


Trójkąt PRS jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości SR = 6 , więc

 1- H = SP = 2SR = 3 √ -- √ -- P R = SR---3-= 3 3. 2

Sześciokąt foremny w podstawie ostrosłupa składa się z 6 identycznych trójkątów równobocznych, więc jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi podstawy, to

 √ -- √ -- a 3 3 3 = P R = ----- ⇒ a = 6. 2

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa (będzie nam potrzebne zarówno do objętości jak i do pola powierzchni całkowitej).

 2√ -- a---3- √ -- √ -- Pp = 6⋅ 4 = 6 ⋅9 3 = 54 3.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 1- 1- √ -- √ -- V = 3 ⋅Pp ⋅H = 3 ⋅5 4 3⋅ 3 = 54 3.

Pole powierzchni całkowitej jest równe

 √ -- 1- Pc = Pp + Pb = 5 4 3+ 6⋅ 2a ⋅SR = √ -- √ -- = 54 3 + 3 ⋅6 ⋅6 = 54 3 + 10 8.

 
Odpowiedź: Objętość:  √ -- 5 4 3 , pole powierzchni:  √ -- 54 3 + 10 8

Wersja PDF
spinner