Zadanie nr 2837073

W kostce mającej kształt sześcianu o boku 1 dm ścięto wszystkie naroża w ten sposób ze wszystkie krawędzie nowopowstałej bryły mają tę samą długość. Obliczyć objętość otrzymanej bryły.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Oznaczmy przez długość krawędzi w nowopowstałej bryle, oraz przez długość krawędzi bocznej w odciętym narożu. Mamy wtedy równania

{ √ -- x2 + x2 = a2 ⇒ a = x 2 2x + a = 1

Podstawiając wyliczoną wartość z pierwszego równania do drugiego, mamy

√ -- 2x + x 2 = 1 √ -- √ -- ---1√--- 2-−---2- 2-−---2- x = 2+ 2 = 4 − 2 = 2 .

Objętość tej bryły najłatwiej obliczyć odejmując od objętości sześcianu objętość odciętych naroży. Na każde naroże możemy patrzeć jak na ostrosłup, który w podstawie ma trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości , i który ma wysokość długości . Objętość takiego ostrosłupa jest równa