Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2837073

W kostce mającej kształt sześcianu o boku 1 dm ścięto wszystkie naroża w ten sposób ze wszystkie krawędzie nowopowstałej bryły mają tę samą długość. Obliczyć objętość otrzymanej bryły.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Oznaczmy przez a długość krawędzi w nowopowstałej bryle, oraz przez x długość krawędzi bocznej w odciętym narożu. Mamy wtedy równania

{ √ -- x2 + x2 = a2 ⇒ a = x 2 2x + a = 1

Podstawiając wyliczoną wartość a z pierwszego równania do drugiego, mamy

 √ -- 2x + x 2 = 1 √ -- √ -- ---1√--- 2-−---2- 2-−---2- x = 2+ 2 = 4 − 2 = 2 .

Objętość tej bryły najłatwiej obliczyć odejmując od objętości sześcianu objętość odciętych naroży. Na każde naroże możemy patrzeć jak na ostrosłup, który w podstawie ma trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości x , i który ma wysokość długości x . Objętość takiego ostrosłupa jest równa

 ( ) 1- 1- 1- 1- 3 3 Pp ⋅H = 3 ⋅ 2 ⋅x ⋅x ⋅ x = 6 x = √ -- √ -- √ -- √ -- = 1⋅ 8−--12--2-+-12-−-2--2-= 1-⋅ 20-−-1-4-2 = 1-0−--7--2. 6 8 6 8 24

Zatem objętość bryły jest równa

 √ -- √ -- √ -- 10 − 7 2 10 − 7 2 7 2− 7 V = 1 − 8 ⋅---------- = 1 − ---------- = ---------. 24 3 3

 
Odpowiedź: 7√ 2−7 3 ---3-- dm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!