Zadanie nr 1482684

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 2 x − (m − 4)x + m − 7m + 12 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz , spełniające warunek

3 3 2 2 x1 + x2 < 5x 1 ⋅x 2 + 5x 1 ⋅x2.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 0 < Δ = (m − 4) − 4(m − 7m + 12 ) = = m 2 − 8m + 16 − 4m 2 + 28m − 48 / ⋅(− 1) 2 0 > 3m − 20m + 32 Δ = 202 − 4⋅3 ⋅32 = 16 = 42 m m = 2-0−--4 = 16- = 8-, m = 20-+-4-= 4 1 6 6 3 2 6 ( 8 ) m ∈ -,4 . 3

Zapiszmy teraz wzory Viète’a dla danego równania.

{ x1 + x2 = m − 4 x1x2 = m 2 − 7m + 12.

Musimy zatem rozwiązać nierówność

x 3+ x 3< 5x2 ⋅x + 5x ⋅x2 1 2 1 2 1 2 (x 1 + x 2)3 − 3x 1x22 − 3x21x2 < 5x 21 ⋅x 2 + 5x 1 ⋅x 22 3 (x 1 + x 2)[− 8x 1x2(x1 + x2) <]0 (x + x ) (x + x )2 − 8x x < 0. 1 2 1 2 1 2

Podstawiamy teraz ze wzorów Viète’a

[ ] (m − 4) (m − 4)2 − 8(m 2 − 7m + 12) < 0 /⋅ (−1 ) (m − 4)(7m 2 − 48m + 80) > 0.

Rozkładamy trójmian w drugim nawiasie.

Δ = 482 − 4 ⋅7⋅ 80 = 2304 − 2 240 = 64 = 82 48 − 8 40 20 48+ 8 56 m = -------= ---= --- lub m = -------= ---= 4. 14 14 7 14 14

Mamy zatem nierówność

( 20) (m − 4 )2 m − --- > 0 ( ) 7 20 m ∈ 7-,4 ∪ (4 ,+∞ ).

W połączeniu z warunkiem na –ę mamy stąd

( 20 ) m ∈ --,4 . 7

Odpowiedź: ( ) m ∈ 207 ,4