Zadanie nr 1638194

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja kwadratowa określona wzorem

f (x) = (2m + 3)x2 − (m + 3)x+ m − 2

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x 2 spełniające warunek (x1 − x2)2 + 5x 1x 2 ≥ 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli funkcja ma być kwadratowa, to oczywiście musi być 3 m ⁄= − 2 . Sprawdźmy teraz, kiedy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

2 0 < Δ = (m + 3) − 4(2m + 3)(m − 2) 0 < m 2 + 6m + 9 − 8m 2 + 4m + 24 7m 2 − 10m − 33 < 0 2 2 Δm = 10 + 4⋅ 7⋅33 = 1024 = 3 2 10−--32- 11- 10+--32- m 1 = 14 = − 7 , m 2 = 14 = 3 ( 11 ) m ∈ − ---,3 . 7

Jeżeli równanie ma pierwiastki to możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x2 = m2m++33- x x = m-−2-. 1 2 2m+3

Przekształćmy teraz warunek z treści zadania tak, aby móc zastosować wzory Viète’a.

2 (x1 − x2) + 5x1x2 ≥ 1 x2 − 2x x + x2 + 5x x ≥ 1 1 1 2 2 1 2 (x1 + x2)2 + x1x2 ≥ 1.

Podstawiamy teraz ze wzorów Viète’a.

-(m-+--3)2 -m-−--2 2 (2m + 3)2 + 2m + 3 − 1 ≥ 0 / ⋅(2m + 3) 2 2 m + 6m + 9 + (m − 2)(2m + 3)− (4m + 12m + 9 ) ≥ 0 0 ≥ m 2 + 7m + 6 = (m + 1)(m + 6 ) ⟨ ) ( ⟩ 3- 3- m ∈ − 6,− 2 ∪ − 2 ,− 1 .

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy

( ) ( ⟩ 11- 3- 3- m ∈ − 7 ,− 2 ∪ − 2,− 1 .

Odpowiedź: ( 11 3 ) ( 3 ⟩ m ∈ − 7 ,− 2 ∪ − 2,− 1