Zadanie nr 1950410

Dla jakich wartości parametru każdy z dwóch różnych pierwiastków równania x 2 + mx + 4 = 0 jest mniejszy od 4?

Rozwiązanie

Po pierwsze, jeżeli równanie ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi być Δ > 0 , czyli

m 2 − 16 > 0 ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 4)∪ (4,+ ∞ ).

Jak zapisać warunek, że pierwiastki są mniejsze od 4? – zrobimy to na trzy sposoby.

Sposób I

Możemy myśleć o paraboli – jej punkty przecięcia z osią muszą być na lewo od 4 (rysunek).

Jak to zapisać? Na pewno wierzchołek musi być na lewo od 4, ale to nie wystarczy, bo większy pierwiastek może być nadal za czwórką. Aby to wykluczyć, musimy jeszcze zażądać aby wartość w 4 była dodatnia. Mamy zatem nierówności

xw < 4 ∧ f (4) > 0 m − -- < 4 ∧ 16 + 4m + 4 > 0 2 m > − 8 ∧ m > − 5.

Na koniec musimy jeszcze uwzględnić warunek z -ą, czyli

m ∈ (− 5,− 4) ∪ (4,∞ ).

Sposób II

Możemy też skorzystać ze wzorów na pierwiastki. Wystarczy oczywiście, aby większy z pierwiastków był mniejszy od 4, czyli

√ -------- −m + m 2 − 1 6 --------2-------- < 4 ∘ -------- − m + m 2 − 16 < 8 ∘ --2----- m − 16 < 8 + m .

Widać stąd, że musi być m > − 8 i wtedy możemy podnieść obie strony do kwadratu.

m 2 − 1 6 < 64 + 16m + m 2 − 80 < 16m ⇐ ⇒ − 5 < m.

Na koniec musimy jeszcze uwzględnić warunek z -ą, czyli

m ∈ (− 5,− 4) ∪ (4,+ ∞ ).

Sposób III

Jeżeli pierwiastki x1,x2 danego równania mają być mniejsze od 4, to liczby x1 − 4 i x 2 − 4 muszą być obie ujemne. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna.

{ 0 < (x1 − 4)(x2 − 4) = x 1x2 − 4(x1 + x2)+ 16 0 > (x1 − 4) + (x2 − 4) = (x1 + x2) − 8.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x + x = −m 1 2 x1x2 = 4.

Musimy więc rozwiązać układ nierówności

{ 0 < 4 + 4m + 16 ⇐ ⇒ − 5 < m 0 > −m − 8 ⇐ ⇒ m > − 8

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (− 5,− 4)∪ (4,∞ ) .

Sposób IV

Jeżeli ktoś nie boi się pochodnych, to warunek z treści zadania można zapisać jako f (4) > 0 i f′(4) > 0 – funkcja ma być rosnąca w otoczeniu 4 (czyli jesteśmy na prawej połówce paraboli). Warunek f(4) > 0 prowadzi do nierówności