/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 2586167

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ⁄= 5 , dla których równanie

x2 + 3x− m-+--4 = 0 m − 5

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x 2 spełniające warunek x13+ x 32 > − 54 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

 0 < Δ = 9+ 4⋅ m-+-4-= 9m-−--45-+-4m-+--16 = 13m-−--29- m − 5 ( m − 5 ) m − 5 29- 0 < (13m − 29)(m − 5) = 13 m − 13 (m − 5) ( ) m ∈ − ∞ , 2-9 ∪ (5,+ ∞ ). 1 3

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x + x = − 3 1 2 x1x2 = − mm-+−45.

Zauważmy ponadto, że

x31 + x32 = (x1 + x2)3 − 3x1x 2(x 1 + x 2).

Mamy zatem do rozwiązania nierówność.

 3 m--+-4 (− 3) + 3 ⋅m − 5 ⋅(− 3) > − 54 / : 9 m + 4 − 3− ------+ 6 > 0 m − 5 3m-−--15−--m-−-4- m − 5 > 0 2m − 19 ---------> 0 m( − 5 ) 19- 2 m − 2 (m − 5) > 0 ( ) m ∈ (− ∞ ,5) ∪ 19,+ ∞ . 2

W połączeniu z warunkiem na Δ –ę mamy stąd

 ( ) ( ) m ∈ − ∞ , 29 ∪ 19-,+∞ . 13 2

 
Odpowiedź:  ( ) m ∈ (− ∞ , 29) ∪ 19,+ ∞ 13 2

Wersja PDF
spinner