Zadanie nr 2849186
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![(m + 2)x2 − (m − 2)x − 4 = 0](https://img.zadania.info/zad/2849186/HzadT1x.png)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunek:
![1-- -1- 1-- -1- x + x + 2 ≥ 2 + 2 1 2 x1 x2](https://img.zadania.info/zad/2849186/HzadT4x.png)
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Oczywiście musi być oraz
![0 < Δ = (m − 2)2 + 16(m + 2 ) = 2 2 2 = m − 4m + 4 + 1 6m + 32 = m + 12m + 36 = (m + 6) .](https://img.zadania.info/zad/2849186/HzadR1x.png)
Musi więc być . Ze względu na występowanie pierwiastków w mianownikach, muszą one być niezerowe, ale na szczęście zawsze tak jest – co łatwo sprawdzić podstawiając
do danego równania.
Przy poczynionych założeniach możemy zapisać wzory Viète’a
![{ x 1 + x 2 = mm−+-22 --4- x 1x2 = − m+ 2](https://img.zadania.info/zad/2849186/HzadR4x.png)
Musimy więc rozwiązać nierówność.
![1--+ -1-+ 2 ≥ 1--+ -1- x1 x2 x21 x 22 2 2 x1-+-x2-+ 2 ≥ x1-+-x2- / ⋅(x1x2)2 x1x2 (x1x2)2 2 2 (x1 + x2)x1x2 + 2(x 1x 2) ≥ (x1 + x2) − 2x1x2.](https://img.zadania.info/zad/2849186/HzadR5x.png)
Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.
![2 − 4(m-−--2)+ ---32---- ≥ (m--−-2)- + ---8-- / ⋅ (m + 2)2 (m + 2)2 (m + 2)2 (m + 2)2 m + 2 2 − 4(m − 2 )+ 32 ≥ (m − 2) + 8(m + 2) 0 ≥ m 2 + 8m − 20 2 Δ = 64+ 80 = 144 = 12 − 8 − 12 − 8+ 12 m = ---------= − 10 lub m = ---------= 2 2 2 m ∈ [− 10,2 ].](https://img.zadania.info/zad/2849186/HzadR6x.png)
Uwzględniając poprzednie założenia, otrzymujemy
![m ∈ [− 10 ,−6 )∪ (− 6,− 2) ∪ (− 2,2].](https://img.zadania.info/zad/2849186/HzadR7x.png)
Odpowiedź: