/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 2849186

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

(m + 2)x2 − (m − 2)x − 4 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x 2 , spełniające warunek:

1-- -1- 1-- -1- x + x + 2 ≥ 2 + 2 1 2 x1 x2

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Oczywiście musi być m ⁄= −2 oraz

0 < Δ = (m − 2)2 + 16(m + 2 ) = 2 2 2 = m − 4m + 4 + 1 6m + 32 = m + 12m + 36 = (m + 6) .

Musi więc być m ⁄= − 6 . Ze względu na występowanie pierwiastków w mianownikach, muszą one być niezerowe, ale na szczęście zawsze tak jest – co łatwo sprawdzić podstawiając x = 0 do danego równania.

Przy poczynionych założeniach możemy zapisać wzory Viète’a

{ x 1 + x 2 = mm−+-22 --4- x 1x2 = − m+ 2

Musimy więc rozwiązać nierówność.

1--+ -1-+ 2 ≥ 1--+ -1- x1 x2 x21 x 22 2 2 x1-+-x2-+ 2 ≥ x1-+-x2- / ⋅(x1x2)2 x1x2 (x1x2)2 2 2 (x1 + x2)x1x2 + 2(x 1x 2) ≥ (x1 + x2) − 2x1x2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

2 − 4(m-−--2)+ ---32---- ≥ (m--−-2)- + ---8-- / ⋅ (m + 2)2 (m + 2)2 (m + 2)2 (m + 2)2 m + 2 2 − 4(m − 2 )+ 32 ≥ (m − 2) + 8(m + 2) 0 ≥ m 2 + 8m − 20 2 Δ = 64+ 80 = 144 = 12 − 8 − 12 − 8+ 12 m = ---------= − 10 lub m = ---------= 2 2 2 m ∈ [− 10,2 ].

Uwzględniając poprzednie założenia, otrzymujemy

m ∈ [− 10 ,−6 )∪ (− 6,− 2) ∪ (− 2,2].

 
Odpowiedź: m ∈ [−1 0,− 6)∪ (− 6,− 2) ∪ (− 2,2]

Wersja PDF