Zadanie nr 3556525

Dana jest funkcja kwadratowa 2 f (x) = x − 2(k + 7)x − k − 7 określona dla dowolnego x ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja y = f(x ) ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (− 3,1 ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 0 < Δ = 4 (k+ 7 ) + 4(k + 7) / : 4 0 < k2 + 1 5k+ 56 Δ = 225 − 22 4 = 1 −-15−--1- −-15-+-1- k1 = 2 = − 8, k2 = 2 = −7 k ∈ (− ∞ ,− 8) ∪ (− 7,+ ∞ ).

Zastanówmy się teraz jak zapisać informację o tym, że oba pierwiastki są w przedziale (− 3,1) . Na pewno wierzchołek paraboli musi być w tym przedziale (bo znajduje się w środku między pierwiastkami). Zatem

b-- − 2a ∈ (− 3,1) k+ 7 ∈ (−3 ,1) / − 7 k ∈ (−1 0,− 6).

W połączeniu z warunkiem na -ę daje to

k ∈ (− 10,− 8)∪ (− 7 ,− 6 ).

To jednak nie koniec, bo nawet jak wierzchołek jest w przedziale (− 3,1 ) to pierwiastki mogą być na zewnątrz tego przedziału. Aby tak nie było, wartości funkcji w końcach przedziału muszą być dodatnie – wiemy już, że wartość w wierzchołku jest ujemna (warunek z -ą), więc w takiej sytuacji pierwiastki będą musiały być w przedziale (− 3,1) .