Zadanie nr 3667634

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ⁄= 2 , dla których równanie

m − 3 x2 + 4x− ------ = 0 m − 2

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek 3 3 x1 + x 2 > − 28 .

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

m − 3 16m − 32 + 4m − 12 20m − 44 0 < Δ = 16+ 4⋅ ------= ---------------------= ---------- m − 2 ( m − 2) m − 2 11- 0 < (20m − 44)(m − 2) = 20 m − 5 (m − 2 ) ( ) m ∈ (− ∞ ,2 )∪ 11-,+ ∞ . 5

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = − 4 x1x2 = − mm-−−32.

Zauważmy ponadto, że

x3+ x3 = (x1 + x2)3 − 3x1x 2(x 1 + x 2). 1 2

Mamy zatem do rozwiązania nierówność.

m − 3 (− 4)3 + 3⋅ ------⋅(− 4) > − 28 / : (− 4) m − 2 16 + 3⋅ m-−-3-− 7 < 0 m − 2 3m − 9+ 9m − 1 8 ------------------ < 0 m − 3 12m--−-27-< 0 m − 2 ( 9) 12 m − -- (m − 2) < 0 ( 4) 9- m ∈ 2, 4 .

W połączeniu z warunkiem na –ę mamy stąd

( ) 1 1 9 m ∈ -5-,4- .

Odpowiedź: ( 11 9) m ∈ 5 , 4