/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 3874185

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 4x − 6(m + 3)x + (2m + 9)m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 i x2 , przy czym x 1 < x2 , spełniające warunek

(6x 1 − 6x 2 − 5 )(6x 1 − 6x2 + 5) < 0.

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

2 2 2 2 0 < Δ = 36(m + 6m + 9)− 1 6(2m + 9m ) = 4(9m + 5 4m + 8 1− 8m − 36m ) / : 4 0 < m 2 + 18m + 81 = (m + 9)2 ⇐ ⇒ m ⁄= − 9.

Sposób I

Jak zauważyliśmy powyżej, 2 Δ = 4(m + 9 ) , więc

-- -- -- −b + √ Δ −b − √ Δ √ Δ |2(m + 9)| |m + 9| x2 − x1 = ----------− ---------- = ----= -----------= -------. 2a 2a a 4 2

Zauważmy teraz, że

(6x1 − 6x2 − 5)(6x1 − 6x 2 + 5) = (6x1 − 6x2)2 − 25 = 36 (x 1 − x 2)2 − 2 5.

Pozostało więc rozwiązać nierówność

(m + 9)2 36 ⋅--------- < 25 4 2 25- √ - (m + 9) < 9 / 5 |m + 9 | < -- 3 − 5-< m + 9 < 5- / − 9 3 3 32- 22- − 3 < m < − 3 .

uwzględniając warunek z Δ -ą mamy stąd

( ) ( ) 32- 22- m ∈ − 3 ,− 9 ∪ − 9,− 3 .

Sposób II

Przy założeniu Δ > 0 możemy zapisać wzory Viète’a.

{ x 1 + x 2 = 6(m4+3) = 32(m + 3) (2m+-9)m- 2m2+-9m- x 1x2 = 4 = 4 .

Zauważmy teraz, że

2 2 (6x1 − 6x2 − 5)(6x 1 − 6x 2 + 5 ) = (6x(1 − 6x2) − 25 = 3 6)(x1 − x2) − 25 = = 36 (x + x )2 − 4x x − 2 5. 1 2 1 2

Pozostało więc rozwiązać nierówność

36(x 1 + x 2)2 − 144x 1x2 − 25 < 0 2 2 81(m + 3) − 36(2m + 9m )− 25 < 0 9m 2 + 162m + 704 < 0 Δ = 1622 − 4 ⋅9⋅7 04 = 900 = 302 − 162 − 3 0 32 − 162 + 30 22 m = ----------- = − --- lub m = -----------= − ---= ( 18 ) 3 18 3 32- 22- m ∈ − 3 ,− 3 .

Uwzględniając warunek z Δ -ą mamy więc

( ) ( ) 32- 22- m ∈ − 3 ,− 9 ∪ − 9,− 3 .

 
Odpowiedź: ( 32 ) ( 22) ( 2 ) ( 1) m ∈ − 3 ,− 9 ∪ − 9,− 3 = − 103 ,−9 ∪ − 9,− 73

Wersja PDF