/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 4224244

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie (m 2 − m )x2 − x+ 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1,x 2 takie, że x-1+x- ≤ m3-≤ 1x-+ 1x- 1 2 1 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Oczywiście musi to być równanie kwadratowe, czyli m ⁄= 0 i m ⁄= 1 , oraz

0 < Δ = 1 − 4(m 2 − m ) = − 4m 2 + 4m + 1 2 4m − 4m − 1 < 0 √ -- Δ = 16 + 16 = 3 2 = (4 2)2 √ -- √ -- √ -- √ -- 4-−-4---2 1-−---2- 4-+-4--2- 1-+---2- m = 8 = 2 ≈ − 0,2 lub m = 8 = 2 ≈ 1,2 ( √ -- √ -) m ∈ 1-−---2, 1+----2- 2 2

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a.

{ 1 x1 + x2 = m2−m- x x = --1--. 1 2 m2−m

Stąd

1 1 x1 + x2 ---+ ---= --------= 1. x 1 x2 x1x2

Pozostało więc rozwiązać nierówności

m m m 2 − m ≤ -- ∧ --≤ 1 / ⋅3 2 3 3 3m − 4m ≤ 0 ∧ m ≤ 3 ( 4 ) 3m m − -- ≤ 0 ∧ m ≤ 3 ⟨ 3⟩ 4 m ∈ 0,3- ∧ m ≤ 3 ⟨ ⟩ 4- m ∈ 0,3 .

Uwzględniając dodatkowo warunek z Δ –ą oraz założenie m ⁄∈ {0,1} , mamy

( ) √ -- m ∈ (0,1 )∪ 1, 1-+--2- . 2

 
Odpowiedź: ( √-) m ∈ (0,1) ∪ 1, 1+-2 2

Wersja PDF