/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 4487505

Dla jakich wartości parametru m równanie 2 x − (m + 2)x + m + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków x1 i x2 spełniające warunek |x1|+ |x 2| ≤ 4 ?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 0 < Δ = (m + 2) − 4(m + 5) = = m2 + 4m + 4 − 4m − 20 = m 2 − 16 = (m − 4)(m + 4) m ∈ (− ∞ ,− 4)∪ (4,+ ∞ ).

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x2 = m + 2 x1x2 = m + 5.

Jeżeli pierwiastki mają być różnych znaków, to musi być spełniony warunek

0 > x1x2 = m + 5 ⇐ ⇒ − 5 > m .

Uwzględniając warunek z Δ –ą widzimy, że równanie ma dwa pierwiastki różnych znaków dla m ∈ (− ∞ ,− 5) . Pozostało jeszcze rozwiązać nierówność

|x1|+ |x2| ≤ 4

Ponieważ obie strony są nieujemne, możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

2 |x1| + |x2| ≤ 4 / () x 2+ x 2+ 2|x x | ≤ 16. 1 2 1 2

Zanim przekształcimy tę nierówność dalej zauważmy, ze interesuje nas tylko sytuacja gdy pierwiastki są różnych znaków, czyli gdy x1x2 < 0 . Powyższa nierówność przyjmuje wtedy postać

2 2 x1 + x2 − 2x1x2 ≤ 1 6 (x + x )2 − 4x x ≤ 16 . 1 2 1 2

Korzystamy ponownie ze wzorów Viète’a.

(m + 2)2 − 4(m + 5) ≤ 16 m2 + 4m + 4 − 4m − 20 ≤ 16 2 m − 32√ ≤- 0 √ -- (m − 4 2 )(m + 4 2) ≤ 0 √ -- √ -- m ∈ ⟨− 4 2 ,4 2⟩.

W połączeniu z poprzednio otrzymaną nierównością mamy więc

√ -- m ∈ ⟨− 4 2,− 5).

 
Odpowiedź: √ -- m ∈ ⟨− 4 2,− 5)

Wersja PDF