Zadanie nr 4498984

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie x 2 + (m − 1)x − m 2 + 2 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste i x 2 (x1 ⁄= x2) , spełniające warunek x31+x-32 x1x2 < 2 .

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 2 2 0 < Δ = (m − 1) + 4m − 8 = m − 2m + 1 + 4m − 8 0 < 5m 2 − 2m − 7 Δ = 4+ 140 = 14 4 2-−-12- 2-+-12- 7- m 1 = 10 = −1 , m 2 = 10 = 5 ( ) m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ 7,+ ∞ . 5

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = − (m − 1) x x = −m 2 + 2. 1 2

Zauważmy ponadto, że

3 3 3 x1 + x2 = (x1 + x2) − 3x1x 2(x 1 + x 2).

Mamy zatem do rozwiązania nierówność.

x3 + x3 3 0 < 2 − -1----2-= 2x1x-2 −-(x-1 +-x-2)-+-3x-1x2(x1 +-x2) x1x2 x1x2 2(−m 2 + 2)+ (m − 1 )3 + 3(m 2 − 2)(m − 1) 0 < ---------------------2---------------------- / ⋅(− 1) −m + 2 −-2m-2-+-4+--m-3 −-3m-2-+-3m-−-1+--3(m-3 −-m2-−-2m--+-2) 0 > m 2 − 2 3 2 0 > 4m---−√8m--−--3m√+-9-. (m − 2)(m + 2)

Szukamy teraz pierwiastków wymiernych wielomianu w liczniku – jednym z nich jest m = − 1 . Dzielimy teraz ten wielomian przez (m + 1) – my zrobimy to grupując wyrazy.