Zadanie nr 4787860

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

mx 2 − (m + 1 )x− 2m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunki:

1-- -1- x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz 2+ 2 < 1. x1 x2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania. Oczywiście musi być m ⁄= 0 oraz

0 < Δ = (m + 1 )2 − 4m (3 − 2m ) = 2 2 2 = m + 2m + 1 − 12m + 8m = 9m − 10m + 1 Δm = 100 − 36 = 64 10 − 8 1 10 + 8 m 1 = -------= -, m 2 = -------= 1 ( 18 ) 9 18 1- m ∈ −∞ , 9 ∪ (1,+ ∞ ).

Pierwiastki równania muszą też być niezerowe, więc dodatkowo

3 − 2m + 3 ⁄= 0 ⇐ ⇒ m ⁄= -. 2

Wszystkie otrzymane do tej pory ograniczenia możemy zapisać w postaci warunku

( ) ( ) ( ) m ∈ (− ∞ ,0)∪ 0, 1 ∪ 1, 3 ∪ 3,+ ∞ . 9 2 2

Teraz pozostało rozwiązać nierówność

1 1 x21 + x22 (x1 + x2)2 − 2x1x2 1 > -2+ -2-= ---2-2--= ------------2-----, x1 x2 x1x 2 (x 1x 2)

ale zanim to zrobimy zapiszmy wzory Viète’a.

{ x 1 + x 2 = m+m-1 x x = 3−2m-. 1 2 m

Mamy więc

m+ 1 2 3−2m (x1 +-x2)2 −-2x1x2- (-m--)-−--2⋅--m--- 1 > (x 1x2)2 = (3−2m-)2 m (m-+-1-)2 −-2m-(3-−-2m-) 0 > (3− 2m )2 − 1 2 2 2 0 > m--+-2m--+-1-−-6m--+-4m--−--(9−--12m-+-4m--)- (3 − 2m )2 2 0 > m--+-8m--−-8-. (3 − 2m )2

Przy założeniu m ⁄= 32 nierówność ta jest równoważna nierówności kwadratowej

0 > m 2 + 8m − 8 √ -- Δ = 6 4+ 3 2 = 96 = (4 6)2 √ -- √ -- √ -- √ -- m = −8-−-4---6-= − 4 − 2 6, m2 = −-8+--4--6-= − 4 + 2 6 1 2 √ -- √ -- 2 m ∈ (− 4 − 2 6,− 4 + 2 6).

Ponieważ

√ -- − 4− 2 6 ≈ − 8,9 √ -- − 4+ 2 6 ≈ 0,9,

w połączeniu z wcześniej otrzymanymi ograniczeniami na mamy stąd

( ) ( ) √ -- 1- m ∈ − 4− 2 6,0 ∪ 0,9 .

Odpowiedź: ( ) ( ) √ -- 1 m ∈ − 4 − 2 6,0 ∪ 0,9