/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 4828435

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie

2 2 3 2 3 m x + (m − 3m )x − 3m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x2 spełniające warunek

3 3 x1x2-+-x1x-2≤ 15-. x1 + x2 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli dane równanie ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi być kwadratowe, czyli m ⁄= 0 . W takim razie możemy równanie podzielić stronami przez m 2

m 2x2 + (m 3 − 3m 2)x − 3m 3 = 0 / : m 2 2 x + (m − 3)x− 3m = 0.

Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa pierwiastki

2 2 0 < Δ = (m − 3) + 12m = m − 6m + 9 + 12m = = m 2 + 6m + 9 = (m + 3)2.

Musi więc być dodatkowo m ⁄= − 3 . Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x2 = − (m − 3) x1x2 = − 3m .

Popatrzmy teraz na nierówność, którą mamy rozwiązać – ze względu na występujący w niej mianownik musi być oczywiście m ⁄= 3 . Ponadto

3 3 2 2 2 x1x2 + x1x2 = x 1x2(x1 + x2) = x1x2((x 1 + x 2) − 2x 1x2),

więc interesującą nas nierówność możemy przekształcić następująco

x31x2 +-x1x32- 15- 2x-31x2 +-2x1x32-−-15(x-1 +-x-2) 0 ≥ x1 + x2 − 2 = 2(x 1 + x 2) 2 0 ≥ 2x1x2((x1-+-x2)--−-2x1x-2)−-15-(x1 +-x2). 2(x1 + x2)

Podstawiamy teraz ze wzorów Viète’a

−-6m-⋅((m-−--3)2 +-6m-)+-1-5(m-−-3-) 2- 0 ≥ − 2(m − 3) / ⋅3 2 3 2m-(m--+-9)-−-5m--+-15- 2m--+--13m-+--15 0 ≥ m − 3 = m − 3

Założyliśmy już, że m ⁄= 3 , więc nierówność ta jest równoważna nierówności

0 ≥ (2m 3 + 13m + 15)(m − 3).

Musimy jeszcze rozłożyć wielomian w pierwszym nawiasie na czynniki. Na szczęście sprawa jest dość prosta – gołym okiem widać, że jednym z jego pierwiastków jest x = − 1 . Dzielimy więc ten wielomian przez (x+ 1) – my jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.

3 3 2 2 2m + 13m + 15 = 2 (m + m )− 2(m + m ) + 15(m + 1) = = (m + 1)(2m 2 − 2m + 15).

Trójmian w drugim nawiasie jest zawsze dodatni (bo Δ < 0 ), więc mamy nierówność

0 ≥ (m + 1)(m − 3) i m ⁄= 3 m ∈ [− 1,3).

Musimy jeszcze uwzględnić zrobione wcześniej założenia i mamy

m ∈ [− 1 ,0 )∪ (0,3).

 
Odpowiedź: m ∈ [− 1,0)∪ (0 ,3 )

Wersja PDF