Zadanie nr 4834311

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 x − 3mx + (m + 1)(2m − 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania , spełniające warunki: x 1 ⋅x 2 ⁄= 0 oraz 0 < 1x-+ 1x-≤ 23 1 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania

2 2 2 0 < Δ = 9m − 4(m + 1)(2m − 1) = 9m − 4(2m + m − 1) = = m 2 − 4m + 4 = (m − 2)2 ⇐ ⇒ m ⁄= 2.

Rozwiązania mają być ponadto niezerowe, więc

1 (m + 1)(2m − 1) ⁄= 0 ⇐ ⇒ m ⁄= − 1 i m ⁄= -. 2

Przy tych założeniach możemy zapisać wzory Viète’a.

{ x 1 + x 2 = 3m x 1x 2 = (m + 1 )(2m − 1).

Rozwiązaniem nierówności

1-- -1- x1-+-x2- -------3m-------- 0 < x + x = x x = (m + 1 )(2m − 1) 1 2 1 2

jest zbiór

( 1 ) m ∈ (− 1,0) ∪ -,+ ∞ , 2

więc pozostało rozwiązać nierówność

2 1 1 x + x 3m --≥ ---+ ---= -1----2-= ----------------- 3 x1 x2 x 1x2 (m + 1 )(2m − 1) 9m 2(m + 1)(2m − 1 ) 9m − 2(2m 2 + m − 1 ) 0 ≥ ------------------− ------------------= ---------------------- / ⋅(− 1) 3(m + 1)(2m − 1 ) 3(m + 1)(2m − 1 ) 3(m + 1)(2m − 1) 2 1- 0 ≤ (4m − 7m − 2) ⋅3(m + 1)(2m − 1 ), oraz m ⁄= − 1 i m ⁄= 2.

Rozkładamy teraz trójmian w pierwszym nawiasie.

Δ = 49+ 32 = 81 m = 7-−-9-= − 1- lub m = 7-+-9-= 2. 8 4 8

Mamy zatem nierówność

( ) ( ) 0 ≤ 4 (m − 2) m + 1- ⋅6(m + 1) m − 1- , oraz m ⁄= − 1 i m ⁄= 1, 4 2 2

której rozwiązaniem jest zbiór

⟨ 1 1) m ∈ (− ∞ ,− 1)∪ − --,-- ∪ ⟨2,+ ∞ ). 4 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki mamy

⟨ ) m ∈ − 1-,0 ∪ (2,+ ∞ ). 4

Odpowiedź: ⟨ ) m ∈ − 1,0 ∪ (2,+ ∞ ) 4