/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 5442287

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x2 równania x2 + 2x + m = 0 spełniają nierówność x13+ x 32 > m2 − 24 .

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw kiedy równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

0 < Δ = 4 − 4m = 4(1 − m ) m < 1.

Przy powyższym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a.

{ x1 + x2 = − 2 x1x 2 = m .

Zauważmy jeszcze, że

x 31 + x 32 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) = − 8 − 3m ⋅(− 2) = 6m − 8.

Musimy zatem rozwiązać nierówność

6m − 8 > m2 − 24 0 > m 2 − 6m − 16 Δ = 36 + 64 = 100 m = 6−--10-= − 2, m = 6+--10-= 8 1 2 2 2 m ∈ (− 2,8).

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę mamy m ∈ (− 2,1) .  
Odpowiedź: m ∈ (− 2,1)

Wersja PDF