/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 5481514

Dany jest trójmian kwadratowy 2 f(x) = x − 2(m − 3)x − 4m + 9 . Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m , dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1,x2 tego samego znaku, spełniające warunek √-17 |x1 − x2| < 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy dany trójmian ma dwa różne pierwiastki.

2 2 0 < Δ = 4(m − 3) − 4(− 4m + 9 ) = 4(m − 6m + 9 + 4m − 9) = 4m (m − 2) m ∈ (− ∞ ,0)∪ (2,+ ∞ ).

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x2 = 2(m − 3) x1x 2 = − 4m + 9 .

Pierwiastki mają mieć ten sam znak, więc musi być spełniona nierówność

9- 0 < x1x 2 = − 4m + 9 ⇐ ⇒ m < 4.

Pozostało teraz rozwiązać nierówność

√ --- --17-> |x1 − x2| / ()2 4 17- 2 2 2 16 > (x1 − x2) = (x 1 + x 2) − 4x 1x2 = (2(m − 3)) − 4(− 4m + 9 ) 17 ( ) ---> 4 m 2 − 6m + 9+ 4m − 9 = 4(m 2 − 2m ) = 4m 2 − 8m 16 0 > 4m 2 − 8m − 1-7 1 6 Δ = 64 + 17 = 81 = 92 m = 8−-9-= − 1- lub m = 8+--9-= 1-7 8 8 8 8 ( 1 1 7) m ∈ − -,--- . 8 8

Łącząc wszystkie otrzymane warunki mamy

( ) ( ) 1- 17- m ∈ − 8,0 ∪ 2, 8 .

 
Odpowiedź: ( ) ( ) 1 17 m ∈ − 8,0 ∪ 2, 8

Wersja PDF