/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 5561083

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 + (2m − 1)x + m + m 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek: x21 + x22 ≤ x 31 + x 32 + 1 0m .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 2 2 0 < Δ = (2m − 1) − 4(m + m ) = 4m − 4m + 1 − 4m − 4m 8m < 1 1 m < --. 8

Przy tym założeniu możemy korzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = −(2m − 1) = 1− 2m 2 x1x 2 = m + m .

Dana nierówność przyjmuje więc postać

2 2 3 3 x1 + x2 ≤ x1 + x2 + 10m (x1 + x2)2 − 2x1x2 ≤ (x 1 + x 2)3 − 3x 1x2(x1 + x2)+ 10m 2 2 3 2 (1− 2m ) − 2 (m + m ) ≤ (1 − 2m ) − 3(m + m )(1 − 2m ) + 10m 2 2 2 3 2 2 3 1− 4m + 4m − 2m − 2m ≤ 1 − 6m + 12m − 8m − 3 (m − 2m + m − 2m ) + 10m 2m 3 − 13m 2 − 7m ≤ 0 2 m (2m − 1 3m − 7) ≤ 0.

Rozłóżmy teraz trójmian w nawiasie.

2 Δ = 169+ 56 = 22 5 = 15 13 − 15 1 13+ 15 m = ---4----= − 2- ∨ m = ---4----= 7 .

Interesująca nas nierówność ma więc postać

( ) 1- 2m m + 2 (m − 7) ≤ 0 ( ⟩ m ∈ − ∞ ,− 1- ∪ ⟨0 ,7 ⟩. 2

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę, mamy stąd

( ⟩ ⟨ ) 1- 1- m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ 0, 8 .

 
Odpowiedź: ( ⟩ ⟨ ) 1 1 m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ 0,8

Wersja PDF