Zadanie nr 5839863

Dla jakich wartości parametru m ∈ R suma sześcianów dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f (x ) = x2 + (3− m )x+ 1+ m jest nieujemna?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania

2 2 2 0 < Δ = (3 − m ) − 4(1+√ -m ) = 9− 6m + m − 4 − 4m = m − 10m + 5 Δ = 100 − 20 = 80 = (4 5)2 √ -- √ -- 10-−-4---5 √ -- 10-+-4--5- √ -- m 1 = 2 = 5 − 2 5, m2 = 2 = 5+ 2 5 √ -- √ -- m ∈ (− ∞ ,5− 2 5)∪ (5 + 2 5,+ ∞ ) ≈ (− ∞ ;0,5)∪ (9,5 ; + ∞ ).

Teraz pozostało rozwiązać nierówność

0 ≤ x3+ x3= (x1 + x2)(x2 − x1x2 + x2) = (x1 + x2)((x1 + x2)2 − 3x1x2), 1 2 1 2

ale zanim to zrobimy zapiszmy wzory Viète’a.

{ x 1 + x 2 = − (3− m) = m − 3 x 1x2 = 1 + m .

Mamy więc

2 2 0 ≤ (x1 + x2)((x1 + x2) − 3x1x2) = (m − 3)((m − 3) − 3(m + 1 )) 0 ≤ (m − 3)(m 2 − 6m + 9− 3m − 3) = (m − 3 )(m2 − 9m + 6).

Rozkładamy teraz trójmian w drugim nawiasie.

Δ = 81− 2√4-=-57 √ --- 9 − 57 9+ 57 m 1 = ---------≈ 0,7, m 2 = ---------≈ 8,3 . 2 2

Rozwiązaniem interesującej nas nierówności jest więc

⟨ --- ⟩ ⟨ --- ) 9 − √ 57 9 + √ 57 m ∈ ---------,3 ∪ ---------,+ ∞ 2 2

W połączeniu z warunkiem na -ę otrzymujemy stąd

√ -- m ∈ (5 + 2 5,+ ∞ ).

Odpowiedź: m ∈ (5 + 2√ 5,+ ∞ )