/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 5894023

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie x 2 + (m + 2)x − m 2 + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1 i x2 takie, że x13+ x 32 ≤ 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 2 2 0 < Δ = (m + 2) + 4m − 4 = m + 4m + 4+ 4m − 4 0 < 5m 2 + 4m ( ) 0 < 5m m + 4- 5 ( 4) m ∈ − ∞ ,− -- ∪ (0,+ ∞ ). 5

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = − (m + 2) x1x2 = −m 2 + 1.

Zauważmy ponadto, że

3 3 3 x1 + x2 = (x1 + x2) − 3x1x 2(x 1 + x 2).

Mamy zatem do rozwiązania nierówność.

3 2 − (m + 2[) − 3(m − 1)(m + 2]) ≤ 0 / ⋅(− 1) (m + 2) (m + 2)2 + 3 (m2 − 1) ≥ 0 [ ] (m + 2) m 2 + 4m + 4 + 3m 2 − 3 ≥ 0 [ 2 ] (m + 2) 4m + 4m + 1 ≥ 0 2 (m + 2)(2m + 1) ≥ 0 m ∈ ⟨− 2 ,+ ∞ ).

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę mamy stąd

⟨ ) 4- m ∈ − 2,− 5 ∪ (0,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: ⟨ ) 4 m ∈ − 2,− 5 ∪ (0,+ ∞ )

Wersja PDF