Zadanie nr 6580563

Dla jakich wartości parametru miejsca zerowe funkcji f (x) = x2 − (m − 2)x− 2m + 4 należą do przedziału (− 1;1) ?

Rozwiązanie

Na początek sprawdźmy, kiedy podana funkcja ma miejsca zerowe.

2 Δ = (m − 2) + 4(2m − 4) ≥ 0 m 2 − 4m + 4 + 8m − 16 ≥ 0 2 m + 4m − 12 ≥ 0

Rozwiązujemy tę nierówność kwadratową

Δ = 1 6+ 48 = 64 − 4− 8 − 4+ 8 m1 = ------- = − 6, m2 = ------- = 2 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 6⟩ ∪ ⟨2,+ ∞ ).

Dalszą część rozwiązania przeprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Ponieważ wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, to podany warunek jest równoważny temu, że wierzchołek paraboli jest zawarty w podanym przedziale oraz wartości funkcji na końcach przedziału są dodatnie (patrz rysunek).

Mamy zatem układ nierówności

( −b- |{ − 1 < xw = 2a < 1 f(− 1) > 0 |( f(1 ) > 0 ( | − 1 < m−2-< 1 / ⋅2 { 2 | 1 + (m − 2)− 2m + 4 > 0 ( 1 − (m − 2)− 2m + 4 > 0 ( |{ − 2 < m − 2 < 2 / + 2 3 > m |( 7 > 3m ( |{ 0 < m < 4 3 > m |( 7 3 > m

Mamy stąd 7 0 < m < 3 . W połączeniu z wcześniej wyliczonym warunkiem na -ę, mamy więc

⟨ ) m ∈ 2, 7 . 3

Sposób II

Sprawdziliśmy już, kiedy funkcja ma miejsca zerowe, sprawdźmy teraz kiedy są one w przedziale (− 1,1) .
Zacznijmy od przypadku Δ = 0 , czyli m = − 6 lub m = 2 . Mamy wtedy odpowiednio funkcje

2 2 f (x ) = x + 8x + 16 = (x+ 4) f (x ) = x2.

Tylko druga z tych funkcji spełnia warunki zadania.
Jeżeli natomiast Δ > 0 to równanie ma dwa pierwiastki x1 < x2 , które muszą spełniać warunki

{ √-- x1 = −b−2√Δ-> − 1 −b+--Δ- { x2 = -2 < 1 −b − √ Δ > − 2 √ -- −b + Δ < 2 { √ -2------------ m√ −-2-+-2->----m + 4m − 12 m2 + 4m − 12 < 2 − (m − 2) { √ -------------- m2 + 4m − 12 < m √m-2-+-4m--−-12-< 4 − m

Jeżeli prawa strona którejkolwiek z powyższych nierówności jest ujemna, to otrzymujemy nierówność sprzeczną, więc musimy założyć, że m ∈ (0,4) . Przy tym założeniu możemy podnieść każdą z nierówności do kwadratu.