Zadanie nr 6673686

Wyznacz wszystkie wartości m ∈ R , dla których równanie 2 x − mx + 4m − 1 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające nierówność

x41 + x42 ≥ 452 − 1 6m 3 − 19 2m .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy dane równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

2 2 0 < Δ = m − 4(4m − 12) = m − 16m + 48 Δ = 25 6− 192 = 64 = 82 m m = 16-−-8-= 4 lub m = 16-+-8-= 12 2 2 m ∈ (− ∞ ,4)∪ (12 ,+∞ ).

Teraz korzystamy ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = m x1x2 = 4m − 12.

Zauważmy teraz, że

x41 + x42 = (x21 + x22)2 − 2x 21x 22 = ((x1 + x2)2 − 2x1x2)2 − 2x21x 22 = ( ) 2 = m2 − 2(4m − 12) − 2(4m − 1 2)2 = = m 4 − 4m 2(4m − 1 2)+ 4(4m − 1 2)2 − 2 (4m − 12 )2 = 4 3 2 2 = m − 16m + 48m + 2(16m − 96m + 1 44) = = m 4 − 16m 3 + 80m 2 − 192m + 288.

Musimy więc rozwiązać nierówność

4 3 2 3 m − 16m + 80m − 192m + 288 ≥ 45 2− 1 6m − 19 2m 4 2 m + 80m − 164 ≥ 0.

Podstawiamy teraz 2 t = m i mamy nierówność kwadratową

2 t + 80t− 164 ≥ 0 Δ = 802 + 4 ⋅164 = 64 00+ 656 = 70 56 = 842 t = −-80-−-8-4 = − 82 lub t = −-80-+-8-4 = 2. 2 2

Interesującą nas nierówność możemy więc zapisać w postaci

(t+ 8 2)(t− 2) ≥ 0 (m 2 + 8 2)(m2 − 2) ≥ 0 / : (m 2 + 82) ( √ -) ( √ --) m − 2 m + 2 ≥ 0 ( √ -] [√ -- ) m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ 2,+ ∞ .

Musimy jeszcze uwzględnić wcześniej otrzymany warunek z –ą i mamy

( √ -] [√ -- ) m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ 2,4 ∪ (1 2,+ ∞ )

Odpowiedź: ( √ -] [√ -- ) m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ 2,4 ∪ (12,+ ∞ )