Zadanie nr 7360580

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

mx 2 + (m − 1 )x− 2m − 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunki:

1-- -1- x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz 2+ 2 > 1. x1 x2

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania. Oczywiście musi być m ⁄= 0 oraz

0 < Δ = (m − 1 )2 + 4m (2m + 3) = 2 2 2 = m − 2m + 1 + 8m + 12m = 9m + 10m + 1 Δm = 100 − 36 = 64 = 82 m 1 = −-10-−-8-= − 1, m 2 = −-10-+-8-= − 1- 18 ( ) 18 9 1- m ∈ (− ∞ ,− 1)∪ − 9,+ ∞ .

Pierwiastki równania muszą też być niezerowe, więc dodatkowo

3 2m + 3 ⁄= 0 ⇐ ⇒ m ⁄= − -. 2

Wszystkie otrzymane do tej pory ograniczenia możemy zapisać w postaci warunku

( ) ( ) ( ) m ∈ − ∞ ,− 3- ∪ − 3,− 1 ∪ − 1,0 ∪ (0,+ ∞ ). 2 2 9

Teraz pozostało rozwiązać nierówność

1 1 x21 + x22 (x1 + x2)2 − 2x1x2 1 < -2+ -2-= ---2-2--= ------------2-----, x1 x2 x1x 2 (x 1x 2)

ale zanim to zrobimy zapiszmy wzory Viète’a.

{ x 1 + x 2 = − m−m-1 x x = − 2m+-3. 1 2 m

Mamy więc

m− 1 2 2m+3 (x1 +-x2)2 −-2x1x2- (-m--)-+--2⋅--m--- 1 < (x 1x2)2 = (2m+-3)2 m (m-−-1-)2 +-2m-(2m-+-3)- 0 < (2m + 3 )2 − 1 2 2 2 0 < m--−-2m--+-1-+-4m---+-6m-−--(4m--+-1-2m-+-9)- (2m + 3)2 2 0 < m--−-8m--−-8-. (2m + 3)2

Przy założeniu m ⁄= − 32 nierówność ta jest równoważna nierówności kwadratowej

0 < m 2 − 8m − 8 √ -- Δ = 64 + 32 = 96 = (4 6)2 √ -- √ -- √ -- √ -- m = 8-−-4---6 = 4 − 2 6, m2 = 8+--4--6-= 4 + 2 6 1 2 √ -- √ -- 2 m ∈ (− ∞ ,4− 2 6)∪ (4+ 2 6,+ ∞ ).

Ponieważ

√ -- 4− 2 6 ≈ − 0,9 √ -- 4+ 2 6 ≈ 8,9,

w połączeniu z wcześniej otrzymanymi ograniczeniami na mamy stąd

( ) ( ) ( ) 3- 3- √ -- m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ − 2 ,−1 ∪ 4 + 2 6 ,+ ∞ .

Odpowiedź: ( ) ( 3) ( 3 ) √ -- m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ − 2,− 1 ∪ 4 + 2 6,+ ∞