Zadanie nr 7678276

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 2 x − (m + 5)x + m + 9m + 20 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz , spełniające warunek

3 3 2 2 x1 + x2 > 5x 1 ⋅x 2 + 5x 1 ⋅x2.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 0 < Δ = (m + 5) − 4(m + 9m + 20 ) = = m2 + 10m + 25 − 4m 2 − 36m − 80 / ⋅(− 1) 2 0 > 3m + 26m + 55 Δ = 262 − 4⋅3 ⋅55 = 16 = 42 m m = −-26−--4-= − 30-= − 5, m = −-2-6+-4-= − 11- 1 6 6 2 6 3 ( 11 ) m ∈ − 5,− --- . 3

Zapiszmy teraz wzory Viète’a dla danego równania.

{ x1 + x2 = m + 5 x1x2 = m 2 + 9m + 20.

Musimy zatem rozwiązać nierówność

x 3+ x 3> 5x2 ⋅x + 5x ⋅x2 1 2 1 2 1 2 (x 1 + x 2)3 − 3x 1x22 − 3x21x2 > 5x 21 ⋅x 2 + 5x 1 ⋅x 22 3 (x 1 + x 2)[− 8x 1x2(x1 + x2) >]0 (x + x ) (x + x )2 − 8x x > 0. 1 2 1 2 1 2

Podstawiamy teraz ze wzorów Viète’a

[ ] (m + 5) (m + 5)2 − 8(m 2 + 9m + 20) > 0 /⋅ (−1 ) (m + 5)(7m 2 + 62m + 135) < 0.

Rozkładamy trójmian w drugim nawiasie.

Δ = 62 2 − 4 ⋅7 ⋅135 = 3 844− 3780 = 64 = 82 −6 2− 8 70 − 62 + 8 54 27 m = ---------= − ---= − 5 lub m = ---------= − ---= − --. 1 4 14 14 14 7

Mamy zatem nierówność

( ) 2 27- (m + 5 ) m + 7 < 0 ( ) m ∈ (−∞ ,− 5) ∪ − 5,− 27- . 7

W połączeniu z warunkiem na –ę mamy stąd

( ) m ∈ −5 ,− 27- . 7

Odpowiedź: m ∈ (− 5,− 27) 7