/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 7955048

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 + 2(1 − m )x + m 2 − m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek x 1 ⋅x2 ≤ 6m ≤ x21 + x22 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

2 2 0 < Δ = 4(1− m) − 4(m − m ) / : 4 0 < 1− 2m + m 2 − m 2 + m = 1− m m < 1 .

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a.

{ x1 + x2 = − 2(1− m) = 2(m − 1) x1x 2 = m 2 − m .

Stąd

x2 + x2 = (x + x )2 − 2x x = 4(m − 1)2 − 2(m 2 − m ) = 1 2 1 2 1 2 = 4m2 − 8m + 4 − 2m 2 + 2m = 2m 2 − 6m + 4

Pozostało więc rozwiązać nierówności

2 2 m − m ≤ 6m ∧ 6m ≤ 2m − 6m + 4 / : 2 m 2 − 7m ≤ 0 ∧ 0 ≤ m2 − 6m + 2 m (m − 7) ≤ 0 ∧ Δ( = 36 − 8 =√ 28⟩ ⟨ √ -- ) 6 − 2 7 6 + 2 7 m ∈ ⟨0,7⟩ ∧ m ∈ − ∞ ;--------- ∪ ---------;+ ∞ 2 2 √ -- √ -- m ∈ ⟨0;7⟩ ∧ m ∈ (− ∞ ;3 − 7⟩ ∪ ⟨3+ 7;+ ∞ ).

Ponieważ √ -- 7 ≈ 2,6 , rozwiązaniem powyższych dwóch nierówności jest zbiór

√ -- √ -- ⟨0;3 − 7⟩ ∪ ⟨3 + 7;7⟩.

Uwzględniając dodatkowo warunek z Δ –ą mamy

√ -- m ∈ ⟨0 ;3− 7⟩.

 
Odpowiedź: √ -- m ∈ ⟨0;3 − 7⟩

Wersja PDF