/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 8053787

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie x 2 + 3x + 2m−−m3 = 0 ma dwa różne pierwiastki x 1 i x2 takie, że x 31 + x 32 > − 9 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na m − 3 w mianowniku musi być m ⁄= 3 .

Sprawdzamy teraz, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

0 < Δ = 9 − 4 ⋅ 2-−-m = 9m-−-2-7−-8-+-4m--= 13m--−-35- m − 3 ( m − 3 ) m − 3 35- 0 < (1 3m − 3 5)(m − 3) = 13 m − 13 (m − 3) ( ) m ∈ − ∞ , 35 ∪ (3,+ ∞ ). 13

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = − 3 2−m- x1x 2 = m− 3.

Zauważmy ponadto, że

x31 + x32 = (x1 + x2)3 − 3x1x 2(x 1 + x 2).

Mamy zatem do rozwiązania nierówność.

2 − m − 27 − 3 ⋅------ ⋅(− 3) > − 9 / : (− 9) m − 3 3− 2−--m-< 1 m − 3 m − 2 ------+ 2 < 0 m − 3 m-−-2-+-2m--−-6-< 0 m − 3 3m − 8 m--−-3- < 0 ( ) ( ) 3 m − 8- (m − 3) < 0 ⇐ ⇒ m ∈ 8-,3 . 3 3

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę mamy stąd

( ) 8- 35- m ∈ 3 ,13 .

 
Odpowiedź: m ∈ (8, 35) 3 13

Wersja PDF